4.4数字特征与极限定理

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1、4.4数字特征与极限定理在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.f(x)xoxP(x)o然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.某型号电视机的平均寿命18000小时±200小时因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.我们先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是期望和方差随机变量的数学期望是概率论中最重要的

2、概念之一.它的定义来自习惯上的平均概念.我们从离散型随机变量的数学期望开始.一、离散型随机变量的数学期望1、概念的引入：某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数X是一个随机变量.如何定义X的平均值即该交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？我们来看第一个问题.若统计100天,例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？32天没有出废

3、品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品)一般来说,若统计n天,这是以频率为权的加权平均由频率和概率

4、的关系不难想到，在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.这样做是否合理呢？不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述:22300031112200033111有一个箱子，里面装有10个大小，形状完全相同的球，号码如图.规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验.记X为所取出的球的号码(对应废品数).X为随机变量，X的概率函数为2230003111对试验次数(即天数)n,及

5、小张的生产情况进行统计，统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3,并计算与进行比较.2230003111则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:对于一个随机变量，若它可能取的值是X1,X2,…,相应的概率为p1,p2,…,但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近定义1设X是离散型随机变量，它的概率函数是:P(X=Xk)=pk,k=1,2,…也就是说,离散型随机变量的

6、数学期望是一个绝对收敛的级数的和.如果有限,定义X的数学期望例1某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.解:设试开次数为X,P(X=k)=1/n,k=1,2,…,nE(X)于是二、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0

7、1)由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.这正是的渐近和式.阴影面积近似为近似,因此X与以概率取值xi的离散型r.v该离散型r.v的数学期望是由此启发我们引进如下定义.定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果有限,定义X的数学期望为也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.若X~U(a,b),即X服从(a,b)上的均匀分布,则若X服从若X服从参数为由随机变量数学期望的定义，不难计算得：这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分

8、别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.已知某地区成年男子身高X~三、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较