特征函数与极限定理

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1、第十二次课2学时本次课教学重点：特征函数的定义与性质本次课教学难点：常见分布的特征函数的计算本次课教学内容：第四章特征函数通过前面的讨论,我们已经知道如何去计算随机变量的数字特征，数字特征一般由各阶矩决定，随着阶数的增高，矩的计算总是较麻烦的，另一方面，由于随机现象错综复杂，一个随机现象往往需要多个随机变量来描述，甚至需要讨论一列随机变量依某种意义的收敛，从前面的讨论我们就看到，只利用分布函数和密度函数，求独立随机变量的和的分布都是较麻烦的（要计算密度函数的卷积），要解决复杂的多的问题，没有更优越的数学工具是不行的，在学习数学分析时我们就知道富里埃变换能把卷积运算变成乘法运算，它在数学中是非常

2、重要而有效的工具，把富里埃变换引入到概率之中来，就产生了“特征函数”，可以毫不夸张地说，概率统计自从引进了特征函数以后，就把理论的研究推进到一个新的台阶。第一节特征函数定义与性质一、定义本章中定义4.1.1设是定义在概率空间一个随机变量，分布函数为，称，（4.1）为的特征函数。有时也称为分布函数的特征函数。由定义当ξa1a2…Pp1p2…当ξ～f（x）（4.2）由，故（4.2）的级数或积分是绝对收敛，即的特征函数总存在。由（4.2）看出，的是其概率函数或密度函数的富里埃变换，计算特征函数则需要进行复数求和或作实变量复值函数的积分。作积分时有时会用到复变函数中的残数理论，但有时也可由欧拉公式得即

3、把求变成求两个实随机变量函数的期望。注：因为对任意的，总是有界连续函数，故皆为有限数。因此任意随机变量的特征函数总是存在的。例1求下列随机变量的特征函数（1）；（2），（3），k=0，1，…解：（1）（2）（3）例2求下列随机变量的特征函数。（1）；（2）；（3）解：（1）（2）为了易求出上面的积分，我们用如下结论：对复数，只要，就有，（）故（3）积分是复变函数，在复平面上，沿平行于实轴的直线（或）的积分，由闭路积分理论知，此积分等于同一函数沿实轴的积分故同样可得，服从时，则其特征函数为二、特征函数的性质性质1在上一致连续，且，，表示的共轭。性质2特征函数具有非负定性。到此我们已看到特征函数较

4、分布函数具有更加优良的分析性质：一致连续，非负定性及有界性。可以证明：若实变元复值函数非负定，且，则是某随机变量的特征函数。性质3设是的特征函数，则的特征函数为证明略。例3.，求。记，故性质4设的分别为，又相互独立，则的为证：用归纳法可证，若分别为相互独立的的为，则的为该性质之逆不真。三、特征函数与矩的关系性质5设的阶矩存在，则的特征函数的k阶导数存在，且对任意，有即证：，而，对∴=性质5说明，可利用的的各阶微分来计算，的各阶矩，这显然比用分布密度的积分来求矩阵方便得多。例4，求解：已知∴得，∴，，作业布置：P290T1，2，3第十三次课2学时本次课教学重点：反演公式及唯一定理内容的理解本次课

5、教学难点：反演公式及唯一定理的证明本次课教学内容：第一节一维特征函数的定义及其性质四、反演公式及唯一定理由特征函数的定义看出，随机变量的特征函数由其分布函数完全确定，反之也能证明分布函数可由其特征函数完全确定。即与是一一对应的，由求的式子叫“逆转公式”。定理4.2.1(反演公式)设随机变量的分布函数和特征函数分别为和，对于得任意连续点和（），有（4.2.1）令，则（4.2.1）可改为推论1（唯一性定理）任意一个随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。由上可知，因而也可用来描述随机变量的统计规律。推理2若随机变量的特征函数于R上绝对可积，则为具有密度函数的连续型随机变量，且对取值整数的随机变量，

6、有类似结论定理4.2.2设为取整数值及0的随机变量，其概率函数为，其特征函数为，则证明略第十四次课3学时本次课教学重点：相互独立的随机变量和的特征函数本次课教学难点：多维随机变量特征函数及其性质本次课教学内容：第二节多维随机变量的特征函数一、定义及例定义4.4.1设是二维随机变量，其分布函数为，为任意实数，记称为的特征函数。当为离散型变量时：，其中当为连续型变量时例1设二维随机变量的分布列为计算的特征函数解：例2二维随机变量服从二维正态分布，它的密度函数为则它的特征函数为。特别当时二、二维随机变量特征函数的性质性质1随机变量的特征函数为，则例3：如例2中，得由唯一性定理得，分别为正态分布及的特

7、征函数，又一次证明了二维正态分布的边缘分布也是正态分布的结论性质2：设皆为常数，二维随机变量的特征函数为，则随机变量的特征函数为性质3两个二元分布函数恒等的充分必要条件是他们对应的特征函数和恒等性质4随机变量与相互独立的充分必要条件为的特征函数性质5设随机变量的特征函数为，为任意常数，则的特征函数为特别（1）与相互独立时，有（2）对于，则的特征函数定理4.2.2设为二维随机变量，存在，则其特征函数