概率论与数理统计-第五章 随机变量的数字特征与极限定理.ppt

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1、随机变量的数字特征与极限定理第五章在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.第一讲数学期望因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是数学期望和方差一、离散型随机变量的数学期望1、概念的引入：某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？某电话交换台

2、每天8:00-9:00收到的呼叫数X是一个随机变量.如何定义X的平均值即该交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？我们来看第一个问题.若统计100天,例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出

3、废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品)一般来说,若统计n天,这是以频率为权的加权平均由频率和概率的关系不难想到，在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.这样做是否合理呢？我们采用计算机模拟.不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述:22300031112200033111有一个箱子，里面装有10个大小，形状完全相同的球，号码如图.规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球

4、放回箱中为一次试验.记X为所取出的球的号码(对应废品数).X为随机变量，X的概率分布列为下面我们用计算机进行模拟试验.2230003111X0123P0.30.30.20.2输入试验次数(即天数)n,计算机对小张的生产情况进行模拟,统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3,并计算与进行比较.下面我们一起来看计算机模拟的结果.2230003111请看演示随机变量均值的确定则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:对于一个随机变量，若它可能取的值是X1,X2,…,相应的概率为p1,p2,…

5、,但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近定义1设X是离散型随机变量，它的概率分布列是:P(X=Xk)=pk,k=1,2,…也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.如果有限,定义X的数学期望如果发散，则X的数学期望不存在。EX的物理意义：表示一维离散质点系的重心坐标例2某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.解:设试开次数为X,P(X=k)=1/n,k=1,2,…,nE(X)于是例3(0－1分布)设X的分

6、布列为X01P1－pp求EX解:EX＝0×(1－p)＋1×p＝p例4．（泊松分布）设X的分布列为求EX。解:二、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0

7、如果有限,定义X的数学期望为也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.EX物理意义：以f(x)为密度的一维连续质点系的重心坐标。例5．（均匀分布）设X的概率密度为求EX解:例6．（指数分布）设X的概率密度为求EX解:例7．（正态分布）设求EX解:例8．（柯西分布）设X的概率密度为求EX解:故EX不存在。若X~U[a,b],即X服从[a,b]上的均匀分布,则若X服从若X服从参数为由随机变量数学期望的定义，不难计算得：若X~B(1,P)则EX=P若X~E(λ)则若X服从几何分布，则这意味着，若从该地区抽查