概率论与数理统计-ch4随机变量的数字特征.ppt

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1、随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性。但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机变量的变化情况。如大致了解全班同学的身高情况，并不需要精确研究全班同学的身高---随机变量X的分布，其实我们只要知道全班同学的平均身高、大家身高对平均身高的平均偏离程度就可以大致了解全班同学的身高情况。平均身高和平均偏离程度就是X的两个数字特征。用数字特征能更直接、更简洁、更清晰和更实用地反映出随机变量的本质。第四章随机变量的数字特征数学期望方差协方差和相关系数分赌本问题1654年,职业赌客德·梅累向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌客赌技相同，各出赌注5

2、0法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这100法郎如何分才算公平？事实上，很容易设想出以下两种分法：（1）甲得100·(1/2)法郎，乙得100·(1/2)法郎；（2）甲得100·(2/3)法郎，乙得100·(1/3)法郎。第一种分法考虑到甲、乙两人赌技相同，就平均分配，没有照顾到甲已经比乙多赢一局这一个现实，对甲显然是不公平的。第二种分法不但照顾到了“甲乙赌技相同”这一前提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些。但是，第二种分法还是没有考虑到如果继续比下去的话会出现什么情形，即没有照

3、顾两人在现有基础上对比赛结果的一种期待。帕斯卡与另一位法国数学家费马在一系列通信中就这一问题展开了讨论，并得出正确的结论。假如能继续比下去的话，至多再有两局必可结束。若接下来的第四局甲胜，则甲赢得所有赌注；若乙胜，还要再比第五局，当且仅当甲胜这一局时，甲赢得所有赌注。以上四种局面中，前三种局面都是甲赢。因此，如果赌局继续，甲赢的概率为0.75，乙赢的概率为0.25。甲的“期望”所得应为0·(1/4)+100·(3/4)=75法郎；乙的“期望”所得应为0·(3/4)+100·(1/4)=25法郎。从而这种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种“期望”，它自然比前两种方法

4、都更为合理，使甲乙双方都乐于接受。这就是“数学期望”这个名称的由来。后来，帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣，后者在1657年发表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论的诞生。设赌局结束后甲赢得的赌本为X，乙赢得的赌本为Y，则X和Y的分布律为：X的“期望”为0·+100·Y的“期望”为0·+100·“数学期望”本质上就是以概率值为权数对赢得赌本的加权平均。数学期望——描述随机变量取值的平均特征1离散型随机变量的数学期望定义1设X~P{X=xk}=pk,k=1,2,

5、…,如果级数绝对收敛，则定义X的数学期望（均值）为记为EX或E（X）解：例1甲乙两人打靶，所得分数分别记为，它们的分布律分别为下表，试评定他们的成绩的好坏。所以甲的成绩好例2某产品表面的疵点数服从参数的泊松分布，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1个不多于4个为二等品，价值8元；疵点数超过4个为废品。求（1）产品的废品率。（2）产品价值的平均值。解：设X表示产品表面的疵点数，有（1）产品的废品率为所以产品价值的平均值为（2）设Y表示产品的价值，有（1）0-1分布的数学期望（2）泊松分布的数学期望（3）二项分布的数学期望连续型随机变量可近似看作取值很密的离

6、散型随机变量，设取值为2连续型随机变量的数学期望其在某点处取值的概率可表示为X落在小区间的概率此时概率分布为数学期望为定义2设X~f(x),如果积分绝对收敛，则定义X的数学期望为记为EX或E（X）。（1）均匀分布的数学期望（2）指数分布的数学期望（3）正态分布的数学期望3随机变量函数的数学期望定理1设X是一个随机变量，Y=g(X),且E(Y)存在，于是（1）若X为离散型随机变量，其概率分布为则Y的数学期望为（2）若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则Y的数学期望为解：例离散型随机变量X的分布律如下表，Y=2X+1，求Y的数学期望解：可用定理求解例随机变量，求例随机变

7、量，求解：定理2设（X，Y）是二维随机变量，Z=g(X,Y),且E(Z)存在，于是（1）若（X，Y）为离散型随机变量，其概率分布为则Z的数学期望为（2）若（X，Y）为连续型随机变量，其概率密度为f(x，y)，则Z的数学期望为例二维离散型随机变量（X，Y）的分布律如下表，求例设随机变量的概率密度为解：求4数学期望的性质1.c为常数,E(c)=c;2.c为常数,E(cX)=cE(X);3.E（X+Y）=EX+EY4.设X、Y相互独立，E(XY)=E(X)E(Y)注意：其逆命题不成立例机场快线载20名旅客自机场开出，旅客