概率论与数理统计 答案 随机变量的数字特征

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1、第4章随机变量的数字特征4.1内容提要4.1.1数学期望1.数学期望的概念数学期望是刻画随机变量取值集中位置或平均水平的最基本的数字特征.在实际应用中,对于产量、产值、利税等指标希望有较高的数学期望,而成本、原材料消耗等指标当然要求有较低的期望值.2.数学期望的计算公式当离散型随机变量给出分布列P{X=x}=p,i=1,2,连续型随机变量给出分布ii密度f(x)之后,数学期望的计算公式(定义)是:∞∑xipi，X为离散型随机变量，E(X)=i=1+∞∫xf(x)dx，X为连续型随机变量．−∞作为定义,上述表达式中的求和、积分在理论上都应有绝对收敛的要求,

2、由于实际应用中条件收敛的情况并不多见,因而通常做题时免去了绝对收敛的考察.必须指出,今后凡涉及包括矩在内的数字特征给出定义时也都应有绝对收敛的要求,到时不再一一说明.二维随机变量的数学期望,原则上可在求出边际分布列(密度)后按一维情形处理,也可在令f(X,Y)=X或f(X,Y)=Y之后,按随机变量函数的数学期望表出,即:∞∞∑∑xipij,X,Y为离散型随机变量,E(X)=i=1j=1∞∞∫∫xf(x,y)dxdy,X,Y为连续型随机变量,−∞−∞∞∞∑∑yjpij,X,Y为离散型随机变量,E(Y)=i=1j=1∞∞∫∫yf(x,y)dxdy

3、,X,Y为连续型随机变量.−∞−∞3.随机变量函数的数学期望计算公式贯穿数字特征讨论的全过程,起着重要作用的是涉及随机变量函数的数学期望的四个公75式.(1)设X是一维离散型随机变量,f(x)是连续函数,X的分布列为:P{X=x}=p,i=1,2,3,,ii则随机变量函数Y=f(X)的数学期望为:∞E(Y)=Ef(X)=∑f(xi)pi.i=1(2)设(X,Y)是二维离散型随机变量,f(x,y)是二元连续函数,且(X,Y)的联合分布列为:P{X=x,Y=y}=pi,j=1,2,3,,ijij则随机变量函数Z=f(X,Y)的数学期望为:∞∞E(Z)=E[f(X

4、,Y)]=∑∑f(xi,yj)pij.i=1j=1(3)设X是一维连续型随机变量,其概率密度为f(x),g(x)是连续函数,则随机变量函数Y=g(X)的数学期望为:+∞E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx.−∞(4)设(X,Y)是二维连续型随机变量,其联合概率密度为f(x,y),g(x,y)是二元连续函数,则随机变量函数Z=g(X,Y)的数学期望为:+∞+∞E(Z)=E[g(X,Y)]=∫∫g(x,y)f(x,y)dxdy.−∞−∞4.数学期望的性质(1)线性性质E(C)=C,其中C为任意常数;E(kX±C)=kE(X)±C,其中k,C为任意常数;E(X

5、±Y)=E(X)±E(Y);(2)E(XY)=E(X)⋅E(Y)+cov(X,Y).特别地,当X,Y相互独立时,有E(XY)=E(X)⋅E(Y).4.1.2方差1.方差的概念方差是描述随机变量取值集中(或分散)程度的基本数字特征.较大的方差D(X)说明X的取值相对于E(X)较为分散.以显示差异性为目的的试验希望有较大的方差.例如,选拔人才的考试只有在较大方差的情形下,才能实现好中选优的目的.76较小的方差D(X)说明X的取值相对于E(X)较为集中.以稳定性为目的的试验希望有较小的方差.例如,对质量指标的掌握总是以较高的期望和较小的方差为努力目标.2.方差的计算公式2

6、22D(X)=E{[X−E(X)]}=E(X)−[E(X)].3.方差的性质(1)D(C)=0,其中C为任意常数;2(2)D(kX±c)=kD(X),其中k,C为任意常数;(3)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y).特别地,当X,Y相互独立时,有D(X±Y)=D(X)+D(Y).4.1.3协方差与相关系数1.矩的概念设X和Y为随机变量,k和l是正整数.kk如果X的数学期望存在,则称E(X)为随机变量X的k阶原点矩,记作µ,即kkµ=E(X),k=1,2,;kkk如果[X−E(X)]的数学期望存在,则称E[X−E(X)]为随机变量X的k阶中心矩,记作

7、v,即kkv=E[X−E(X)],k=1,2,;kklkl如果XY的数学期望存在,则称E(XY)为随机变量X和Y的k+l阶混合矩.klkl如果[X−E(X)][Y−E(Y)]的数学期望存在,则称E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}为X和Y的k+l阶混合中心矩.2.协方差与相关系数的概念协方差与相关系数是反映两个随机变量之间相互关联程度的数字特征.cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=E(XY)−E(X)E(Y),cov(X,Y)ρ=.XYD(X)D(Y)3.协方差的性质(1)cov(XY,)=cov(YX,);(2)对任意实数a,b,c,