第八节 定积分的几何应用举例ppt课件.ppt

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1、第八节定积分的几何应用举例一、元素法二、平面图形的面积三、体积四、平面曲线的弧长回顾曲边梯形求面积的问题一、元素法abxyo面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素(1)A是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量；(2)A对于区间[a,b]具有可加性，如果把区间[a,b]分成许多部分区间,则A相应地分成许多部分量,而A等于所有部分量之和；(3)部分量的近似值可表示为;就可以考虑用定积分来表达这个量A.一个量以定积分来表达,关键是第三步,即:确定部分量的近似值当所求量A(非均匀分布量)符合下列条件：A用定积分表达的一般步骤：1.根据问题

2、的实际意义,确定一个积分变量及其变化区间[a,b].2.设想把区间[a,b]任意地分为n个小区间,任取一个小区间记为[x,x+dx],求出相应于这个区间的部分量A的近似值，如果A可表示为[a,b]上的一个连续函数f(x)与dx的乘积f(x)dx,并且A与f(x)dx的差仅相差一个比dx高阶的无穷小，这时f(x)dx称为A的元素，记为dA。这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．3.以A的元素dA=f(x)dx为被积表达式在[a,b]上作定积分即得所求的量A.曲边梯形的面积曲边梯形的面积二、平面图形的面积1、直角坐标系情形解两曲线

3、的交点面积元素选为积分变量步骤：1.根据题意画出平面图形.3.写出微元dA.2.确定一个积分变量及其变化区间[a,b].4.求出通常要先求出边界曲线的交点.解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选x吗？两曲线的交点xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积xyo解两曲线的交点选为积分变量2、用参数方程表示的曲边梯形的面积如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例5求星形线围成图形的面积.面积元素曲边扇形的面积3、极坐标系情形解由对称性知总面积=

4、4倍第一象限部分面积解利用对称性知求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）4、小结思考题思考题解答xyo两边同时对求导积分得所以所求曲线为旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积1、绕x轴旋转所得旋转体体积xyo旋转体的体积为解直线方程为解2、绕y轴旋转所得旋转体体积解解3、补充利用这个公式，可知上例中解体积元素为(2)曲边梯形绕直线x=a旋转所得旋转体体积旋转体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周4、小结思考题解答交点立体体积思考题四、平行截面面积为

5、已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积例五、平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念弧长元素弧长2、直角坐标情形解所求弧长为解解解曲线弧为弧长3、参数方程情形解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长证椭圆积分根据椭圆的对称性知故原结论成立.曲线弧为弧长4、极坐标情形解解平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式5、小结思考题思考题解答不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才

6、可求长．