定积分的几何应用举例概况.ppt

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1、第八节定积分的几何应用举例一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长一、平面图形的面积1、直角坐标系情形设曲线y=f(x)(x0)与直线x=a,x=b(a

2、变量及其变化区间[a,b].解得两曲线的交点解得两曲线的交点解得交点为说明：注意各积分区间上被积函数的形式．解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式用参数方程表示的曲边梯形的面积若曲边梯形的曲边y=f(x)(axb)可化为参数方程则曲边梯形的面积解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例5求星形线围成图形的面积.练习：的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:求由摆线面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面

3、图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）3、小结旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积1、绕x轴旋转所得旋转体体积xyo旋转体的体积为解直线OP方程为例1如图的直角三角形绕x轴旋转的旋转体的体积．解例计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解则(利用对称性)当b=a时,就得半径为a的球体的体积方法2利用椭圆参数方程则2、绕y轴旋转所得旋转体体积解3、补充解体积元素为(2)曲边梯形绕直线x=a旋转所得旋转体体积旋转体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周4、小结四、平

4、行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积五、平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念弧长元素弧长2、直角坐标情形解所求弧长为解解曲线弧为弧长3、参数方程情形解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长证根据椭圆的对称性知故原结论成立.曲线弧为弧长4、极坐标情形解解平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式5、小结思考题思考题解答不一定．仅仅有曲线连续

5、还不够，必须保证曲线光滑才可求长．例计算心形线与圆所围图形的面积.解利用对称性,所求面积练习：计算心形线的内部与圆外部所围图形的面积.练习1、求心形线=a(1+cos)的内部与圆=a的外部所围图形的面积.2、设抛物线的轴平行于x轴，开口向左，且通过原点与点(2,1)，求它与y轴之间面积为最小的抛物线方程.思考题思考题解答xyo两边同时对求导积分得所以所求曲线为练习1、求由曲线围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.2、求半径为r高为h的球缺的体积.3、在一半径为R的球内以直径为轴打一个半径为r的圆孔(r