定积分的几何应用举例

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1、第1章集合第5节定积分的几何应用举例（考点）定积分的应用就是要用定积分计算某个量：可见，量分布在区间上。在实际应用时，要求我们把和找出来。，考虑是在上的分布。让有增量使。是在上的分布。因此，用积分计算量的步骤如下：（1）找到的分布区间；（2），把在上的分布量计算成如下式子即（3）算出定积分以上步骤称为定积分应用的微元法。19第1章集合5.1平面图形的面积5.1.1．直角坐标系中连续曲线所围图形的面积。分布在区间上；，在区间部分的面积；所以当时图5.1【例5.1】　求由曲线，以及直线围成的图形面积．解、面积分布在区间上；，在区间部分的面积；所以【例5.2】　求由曲线，所围成图形的面积．图5.2a

2、图5.2b解1、解得交点。如果用作自变量，面积分布在区间上；，当时，在区间部分的面积19第1章集合；当时，在区间部分的面积。表达式不一致，要用把图形割成两块计算。解2、如果用作自变量，面积分布在区间上。，在区间部分的面积。所以（从此例要学会：（1）当边界表达式不一致时，要作适当分割；（2）自变量选得好可使计算简单。）【例5.3】　求椭圆所围成的图形的面积．解、由对称性，，其中为第一象限内的部分的面积。分布在区间上；，在区间部分的面积。所以（这个结果与中学所学一致。我们这里是用定积分做出来的，而中学是没有证明的估计。）5.1.2．极坐标系中5.1.2.1．极坐标在平面中取定一条有长度单位的射线，

3、称为极坐标轴。给了平面上一点，我们有数组，其中19第1章集合是与的夹角。是由点确定的。反过来，如果给了数组，按上面规则，确定了一点。因此，可以用作点的坐标，称为点的极坐标。把直角坐标平面的作极坐标轴，则极坐标与直角坐标的关系如下5.1.2．极坐标系中的面积计算求曲线所围图形的面积。用作自变量，面积分布在区间上；，在区间部分的面积。所以如何求曲线所围图形的面积？有时候用极坐标计算面积比较简单。19第1章集合【例5.4】　计算阿基米德螺线：（）从的一段弧与极轴所围成的图形的面积．解、。5.1.3．由曲线的直角坐标方程写极坐标系方程（1）把代入等式得等式；（2）由等式解出。5.1体积图5.35.1.

4、1旋转体的体积曲边梯形。（1）求绕轴旋转一周得的旋转体的体积；（1）求绕轴旋转一周得的旋转体的体积。（1）分布在区间；，在区间的部分的体积（半径为高为的圆柱体）；所以（转轴与积分变量一致。）（2）分布在区间；，在区间的部分的体积（一空心圆柱壳：底是周长宽高）；所以（转轴与积分变量不一致。）（这里所讲与P245有什么不一样？）19第1章集合图5.519第1章集合【例5.5】　计算由摆线，的一拱及轴所围成的图形(图5.4)分别绕轴，轴旋转而成的立体体积．图5.4解、或用y作自变量，19第1章集合图5.6a图5.6b【例5.6】　设有一半径为的圆，圆心与一定直线的距离为（）求此圆绕直线旋转而成的圆环

5、体的体积．解、以为轴正半轴过圆心建立直角坐标系。大半圆方程，小半圆方程。19第1章集合【例5.7】　求由曲线，轴和曲线在它极大值点处切线所围成的平面图形，绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．解1、用作自变量。分布在区间上。解2、用作自变量。分布在区间上。19第1章集合5.1.2平行截面面积可计算的几何体的体积设几何体在轴上的投影区间。，用垂直于轴且过点的平面截所得截面的面积可计算。则在上分布的体积。所以【例5.8】　一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（如图5.7），计算该平面截圆柱体所得立体的体积．解1、用作自变量。分布在区间上。，用垂直于轴且过点的平面截所得截面的面积，所以解2

6、、用作自变量。分布在区间上。，用垂直于轴且过点的平面截所得截面的面积，所以121212图5.7a图5.7b19第1章集合5.3平面曲线的弧长5.3.1在直角坐标系中设曲线段的方程为。弧长分布在上。，由于弧长微分，所以在区间上的分布。因此【例5.9】　求悬链线从到（）那一段的弧长．解、弧长分布在上。。所以5.3.2曲线用参数方程表示设曲线段的参数方程为。弧长分布在上。，由于弧长微分，所以在区间上的分布。因此【例5.10】　求摆线，的一拱的长度．（）解、弧长分布在上。。所以19第1章集合5.3.3曲线用极坐标方程表示设曲线段的极坐标方程为。则曲线的参数方程是容易算得。因此【例5.11】　心脏线的全

7、长．解、弧长分布在上。。所以19第1章集合习题讲解P249A类2．求由下列各曲线所围成图形的面积：(1)解、，。（注意到的周期性。）3．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：(1)与(2)与解、（1）先画草图（看黑板）。解得。根据对称性，（2）先画草图（看黑板）。解得。根据对称性，19第1章集合11．求曲线自的一段弧长．解、曲线。。19第1章集合B类5．设,试求曲线与轴所围成图形的面积．解、当时