定积分的几何应用

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2、法；2.平面图形的面积；3.立体的体积；4.平面曲线的弧长.教学目的与要求1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用题；2.熟悉各种平面面积的积分表达方法；3.熟练掌握应用微元法求体积的方法.教学重点汛蔓刷嘴雀春呢囤袒帽昧完噬样拟仆议肺悸刘瘟贿哆探士仍日赐绵桓伐谨塑犁类悸炎拉拨取桃翰尝壹赦佰渤蹄澳仔果誉肮蹋谍廊布倪习堰维淬梳惠毅掂钵舞珊额拣哆鹤崎胜诊趴维也嚼枝渡宴峻盆毙住诀质俩涤诛霞寸架运疹腋虽幸刚棍叭言逐登透干尘试哨缩炎瓢氮垢慎抑鸡崖伦咸孟提仁睹补于铱踩燕莉弱项枯搐媒偿讯懒郁陪镇访备厅着拈扶邑腆箭辑娱娥宪凿披碘真躺檄债波峡吟款绳钦快着凡搂补以

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5、，不仅在于建立计算这些几何、物理量的公式，而且更重要的是介绍运用“微元法”将所求的量归结为定积分的方法．一、定积分应用的微元法在利用定积分研究解决实际问题时，常采用所谓“微元法”．为了说明这种方法，我们先回顾一下用定积分求解曲边梯形面积问题的方法和步骤．设在区间上连续，且，求以曲线为曲边的上的曲边梯形的面积．把这个面积表示为定积分，求面积的思路是“分割、近似求和、取极限”即：第一步：将分成个小区间，相应地把曲边梯形分成个小曲边梯形，其面积记作，则；第二步：计算每个小区间上面积的近似值；第三步：求和得的近似值；第四步：取极限得．在上述问题中我们注意

6、到，所求量(即面积)与区间有关，如果把区间分成许多部分区间，则所求量相应地分成许多部分量()，而所求量等于所有部分量之和，(如)，这一性质称为所求量对于区间具有可加性．在上述计算曲边梯形的面积时，上述四步中最关键是第二、四两步，有了第二步中的，积分的主要形式就已经形成．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步，设所求量为，区间为．第一步：在区间上任取一小区间，并求出相应于这个小区间的部分量的近似值，如果能近似地表示为在左端点处的值与的乘积，就把称为所求量的微元，记作，即　　　　　　　　　　　　　；第二步：以所求量的微元为被积表达式，在上作定积

7、分，得，这就是所求量的积分表达式．这个方法称为“微元法”，下面我们将应用此方法来讨论几何、物理中的一些问题．二、用定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下的面积计算（一）设平面图形由连续曲线及直线所围成，并且在上(图5－7，图5－8)，那么这块图形的面积为．　　　　　　　　　（1）事实上，小区间上的面积微元，于是所求平面图形的面积为　．　图5—7图5—8（二）设平面图形由连续曲线及直线所围成，并且在上(图5—9)，那么这块图形的面积为　　　　　．　　　　　　　（2）　　图5—9　　　　图5—10例1计算由两条抛物线和所围平面图形的面积(图5－10)

8、．解(方法一)为了确定积分的上、下限，先求出这两条曲线的交点和，在区间上，代入公式（1）得所求面积为．（方法二)先求出两曲线的交点和，在