定积分的几何应用(III)

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1、6-6定积分的几何应用11.元素法的步骤:1）作图，2）在区间内，任取一小区间则相应于该区间上的微分元素为3）写出定积分的表达式：定积分区间选积分变量复习2oyx面积为上曲线下曲线xoy2.平面图形的面积曲边梯形的面积:3xyocdy+dyyxoycdy+dyy面积为右曲线左曲线曲边梯形的面积:4第六节定积分的几何应用第六章二、求平面图形的面积一、定积分的元素法三、求立体的体积5旋转体就是由一个平面图形绕这圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积旋转轴．平面内一条直线旋转一周而成的立体．该直线叫做特点：垂直于轴的截面是圆.1.旋转体定义：6围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积.

2、求由连续曲线直线x=a、x=b(a

3、半椭圆的方程为：由公式知：同理得椭圆绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：例3求由椭圆绕x轴旋转所成旋转体的体积.11例4求抛物线与直线所围的图形绕x轴解如图：联立方程组得交点坐标为取x为积分变量，则于是体积元素为：则所求体积为旋转所得立体的体积.oxy2x12例5、过坐标原点作(2)求D绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积.xyo1M解则它的斜率为该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积.则切线方程为13xyo1M(1)积分变量取y,则面积元素为例5.过坐标原点作(2)求D绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积.该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求

4、D的面积.14xyo1M(2)积分变量取x,则例5.过坐标原点作(2)求D绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积.该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积.15二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，立体体积立体的体积也可用定积分来计算.上垂直于一个定轴的各个截面面积，这个表示过点且垂直于轴的截面面积.那么，为的已知的连续函数.但却知道该立体16解建立如图的坐标系.则底圆方程是：一个直角三角形.两直角边的长分别为例6一平面经过半径为的圆柱体的底圆的中心，底圆交成角计算这平面截圆柱体所得立体的体积.并与过点且垂直于轴的截面是及即及则截面面积为

5、从而得体积元素为x17在闭区间上作定积分，便得所求立体的体积18解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.例7垂直于x轴的截面为等腰三角形半径为R的圆面积的四分之一19围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积.由连续曲线直线x=a、x=b(a

6、积.例9解由公式所求的体积为25解求星形线绕x轴旋转构成的旋转体的体积.例9旋转体的体积为26