定积分及其应用(III)

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1、第5章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质5.2牛顿—莱布尼茨公式5.3定积分的换元积分法与分部积分法5.4广义积分5.5定积分在几何上的应用5.1定积分的概念与性质5.1.1引例5.1.2定积分的定义5.1.3定积分的几何意义5.1.4定积分的性质5.1.1引例曲边梯形的面积曲边梯形：在直角坐标系下，由闭区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)≥0，直线x=a，x=b与x轴围成的平面图形AabB.yxOabABx=ax=by=f(x)基于这种想法，可以用一组平行于y轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割得较细，每个小曲边梯形很窄，则其高f(x)的变化就很小.这样，可以在

2、每个小曲边梯形上作一个与它同底，底上某点函数值为高的矩形，曲线y=f(x)是连续的，所以，当点x在区间[a,b]上某处变化很小时，则相应的高f(x)也就变化不大.yxOabABx=ax=by=f(x)显然，分割越细，近似程度就越高，当无限细分时，则所有小矩形面积之和的极用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边(1)分割根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积.梯形面积.限就是曲边梯形面积的精确值.在区间[a,b]内任意插入n–1个分点：a=x0

3、x0,x1]，[x1,x2]，···，[xi-1,xi]，···，[xn-1,xn].这些小区间的长度分别记为xi=xi–xi-1(i=1,2,···,n).过每一分点作平行于y轴的直线，它们把曲边梯形分成n个小曲边梯形.a=x0x1xi-1xn=bOy=f(x)yBAxxi(2)近似代替在每个小区间[xi-1,xi](i=1,2,···,n)上取一点xi(xi-1≤xi≤xi),以f(xi)为高，xi为底作小矩形，用小矩形面积f(xi)xi近似代替相应的小曲边梯形面积Ai，即Aif(xi)xi(i=1,2,···,n).x1x2xixnxOy=f(x)yBAa=x0x

4、1xi-1xn=bxi(3)求和把n个小矩形面积加起来，它就是曲边梯形面积的近似值，即x1x2xixnxOy=f(x)yBAa=x0x1xi-1xn=bxi(4)取极限当分点个数n无限增加，即且小区间长度的最大值(即=max{xi})趋近于0时，上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，x1x2xixnxOy=f(x)yBAa=x0x1xi-1xn=bxi5.1.2定积分的定义定义设函数f(x)在区间[a,b]上有定义．任意取分点a=x0

5、xi–xi-1(i=1,2,···,n)在每个子区间[xi-1,xi]上,任取一点xi(xi-1≤xi≤xi)，得相应的函数值f(xi)，作乘积f(xi)xi(i=1,2,···,n)，把所有乘积加起来，得和式当n无限增大，且子区间的最大长度l(即l=max{xi})趋于零时，如果上述和式的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积，则将此极限值称为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记作即f(x)叫做被积函数；x叫做积分变量；a与b叫做积分下限与上限.符号读作函数f(x)从a到b的定积分.f(x)dx叫做被积表达式或称被积分式；其中：[a,b]叫做积分区间；关于定积分定义

6、的几点说明：(1)所谓和式极限(即函数f(x)可积)，是指无论对区间[a,b]怎样分法，也不论对点ξi(i=1,2,···,n)怎样取法，极限都存在且有相同的极限值.(2)定积分是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有关于可积有下面两个定理：(3)如果函数f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就称f(x)在[a,b]上可积。定理1设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2设f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。不可积分的例子：（2）狄利克雷(Dir

7、ichlet)函数（1）反比例函数在（0，1）上不可积。01（a）当a=b时，（b）当a>b时，(4)该定义中假设积分下限a小于积分上限b，为了今后计算及应用的方便，对a=b和a>b作如下规定：根据定积分的定义，上面的引例可以表示为定积分：曲边梯形面积A是曲边函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即5.1.3定积分的几何意义yxOabABx=ax=by=f(x)当f(x)≥0时，定积分在几何上表示曲边y=f(x)在区间[a,b]上方的曲边梯形面积，yxO