定积分的几何应用(2)

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1、第五节定积分的几何应用分布图示★面积表为定积分的步骤★定积分的微元法★平面图形的面积★例1★例2★例3★例4★例5★直角坐标系情形★参数方程情形★例6★例7★极坐标系情形★例8★例9★旋转体的体积★例10★例11★例12★平行截面面积为已知的立体的体积★例13★平面曲线的弧长★例14★例15★例16★例17★内容小结★课堂练习★习题5-5★返回内容要点一、直角坐标系下平面图形的面积讨论定积分的几何意义二、极坐标系下平面图形的面积设曲线的方程由极坐标形式给出，则由曲线，射线和所围成的曲边扇形的面积微元所求曲边扇形的面积例题选讲直角坐标系下平面图形的面积例1(E01)求由和所围成的图形的

2、面积.解面积微元:所求面积:例2(E02)求由抛物线与直线所围成的面积.解如图，并由方程组解得它们的交点为选为积分变量，则的变化范围是任取其上的一个区间微元则可得到相应面积微元从而所求面积例3求由和所围成的图形的面积.解面积微元:所求面积:例4计算由曲线和所围成的图形的面积。解面积微元:所求面积:例5(E03)求椭圆所围成的面积.解椭圆面积:面积微元:例6(E04)求双纽线所围平面图形的面积.解面积微元:所求面积:极坐标系下平面图形的面积例7(E05)求心形线所围平面图形的面积解面积微元:所求面积:例8连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形.将它绕轴旋转构成一个半径为高为

3、的圆锥体，计算圆锥体的体积.解体积微元:所求体积:例9(E06)计算由椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转而成的立体.取为自变量，其变化区间为任取其上一区间微元相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为高为的扁圆柱体的体积，即体积微元故所求旋转椭球体的体积为特别地，当时，可得半径为的球体的体积例10计算由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积.解体积微元:所求体积:例11求曲线,所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积.解体积微元:所求体积:例12求由曲线所求围成的图形分别绕轴和轴旋

4、转而成的旋转体的体积.解做草图,并求得曲线的交点坐标分别为例13(E08)一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图6-3-9），计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解截面面积:体积微元:所求体积:例14(E09)求圆的周长.解如图，将圆的方程化为参数方程则所求圆周长例15(E10)求曲线上相应于从到的一段弧的长度.解弧长微元:所求弧长:例16计算星形线的全长.解由图形（如图）的对称性可知，星形线的全长为其在第一象限部分的4倍,则由弧长公式得例17(E11)求心形线的周长.解如图，此心形线关于极轴对称.课堂练习1.求正弦曲线和直线及轴所围成的平面图形的积.2.求星形线所围

5、成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积.