定积分的几何应用(II)

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1、定积分的几何应用一、平面图形的面积1直角坐标系作为一般情况讨论，设平面图形由[a,b]上连续的两条曲线y=f(x)与y=g(x)及两条直线x=a,x=b所围成在[a,b]上任取典型小区间[x,x+dx]与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dAdA可用高为底为dx的矩形面积近似表示即故ab当dx很小时所围成的图形的面积解为确定图形的存在区间由联立方程组解得交点A（-1，1）B（1，1）故例1求两曲线所围图形的面积解首先定出图形所在的范围解得交点为（2，-2）和（8，4）若取x为积分变量在[x,x+dx]上取部分

2、量则对于x的不同值局部量的位置不同其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂如下图例2计算以y为变量计算将会简单在[-2,4]上任取一小区间其上相应的窄条左、右曲边分别为但若将这一面积看作是分布在区间[-2，4]上由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化上述问题的一般情况是平面区域由[c,d]上连续的曲线及直线y=c,y=d所围成则其面积为cd当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时，只须对面积计算公式作变量代换即可。计算时应注意积分限在

3、换元中应保持与原积分限相对应。例3求椭圆的面积解由对称性面积A等于椭圆在第一象限内的部分的面积的4倍即设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有证明存在唯一的使曲线f（x）与两直线所围图形的面积是y=f(x)与两直线所围图形面积的3倍证例4故由零点定理知又令2极坐标系某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的若曲线由极坐标方程给出极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形而是由射线所围成的称为曲边扇形的区域可用半径为圆心角为由于曲边扇形的面积分布故面积元素为的圆扇形的面积来近似解由对称性知总面积=4倍第一象限

4、部分面积解利用对称性知通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的对称性和等量关系来简化计算。二、平面曲线弧长的概念①直角坐标情形弧长元素弧长解所求弧长为解曲线弧为弧长②参数方程情形解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长证根据椭圆的对称性知故原结论成立.③极坐标情形曲线弧为弧长解求心形线的全长解由对称性例12求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）平面曲线弧长的概念弧微分的概念求弧长的公式直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下小结思考题

5、两边同时对求导xyo积分得思考题1解答所以所求曲线为不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．思考题2解答练习题练习题答案练习题练习题答案