定积分的几何应用举例.ppt

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1、第八节定积分的几何应用举例一、元素法二、平面图形的面积三、体积四、平面曲线的弧长五、总结回顾曲边梯形求面积的问题abxyo面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素一、元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．曲边梯形的面积曲边梯形的面积1、直角坐标系情形二、平面图形的面积解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？解两曲线的交点选为积分变量如

2、果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积三、体积xyo旋转体的体积为解直线方程为例1连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx=及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．例2计算由椭圆围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转椭球体的体积。解可看作由与x轴所围图

3、形绕x轴旋转一周而成的立体。所以它的体积例3计算正弦曲线弧y=sinx，x∈[0，π]与x轴围成的图形分别绕x轴、y轴旋转所成的旋转体的体积。解0π2、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积四、平面曲线的弧长弧长元素弧长1、直角坐标情形解所求弧长为曲线弧为弧长2、参数方程情形解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长例2曲线弧为弧长3、极坐标情形解例31、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面

4、积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）五、小结2、旋转体的体积3、平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周4、求弧长的公式思考题：设曲线过原点及点，且为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与轴和曲线围成的面积是另一条平行线与轴和曲线围成的面积的两倍，求曲线方程.