定积分的几何应用举例课件.ppt

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1、第七节定积分的几何应用举例一、元素法二、平面图形的面积三、空间立体的体积四、平面曲线的弧长回顾曲边梯形面积的计算问题一、元素法abxyo面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值abxyo（4）求极限，得A的精确值说明面积元素这种处理问题的方法叫作元素法一般地,元素法的一般步骤：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．曲边梯形的面积曲边梯形的面积1、直角坐标系情形二.平面图形的面积解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积解两曲线

2、的交点选为积分变量若曲边梯形的曲边由参数方程给出,则曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于倍第一象限部分面积的4倍,所以面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形解由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍解利用对称性知旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积二.空间立体的体积xyo旋转体的体积为解直线方程为解解2.平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的

3、体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积三、平面曲线的弧长1.直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程给出,其中f(x)的一阶导数连续.取横坐标x为积分变量,它的变化区间[a,b].设曲线y=f(x)上对应的任一区间[x,x+△x]的一段弧长为△s,则可用点处切线的一段来近似弧长元素(弧微分):因此,所求弧长例12.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,下垂成悬链线.求这一段弧长.解:悬链线方程为例13.求连续曲线段解:的弧长.2.参数

4、方程情形弧长元素(弧微分):因此,所求弧长设曲线弧由参数方程给出例14.计算摆线的一拱的弧长.解:3.极坐标情形:因此,所求弧长则得弧长元素(弧微分):设曲线弧由极坐标方程给出例15.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解: