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《《定积分的几何应用》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六节定积分的几何应用引从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲边梯形的面积.那么定积分在几何上还有其它方面的应用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？一、微元法微元法也称微元分析法,它是定积分应用的基础,给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法.定积分作为一种数学方法,研究的是某些量的计算问题.记所研究的量为Q,量Q如果符合下列条件:(1)Q是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;(2)Q对于区间[a,b]具有可加性,也就是说,如果把区间[a,b]分成许多部分区间,则Q相应地分成许多部分量,而Q等于所有
2、部分量之和;(3)Q=dQ(x)+o(x).则整体量微元法或微元分析法遵循如下三个步骤:第一步:确定整体量Q的变化区间,比如Q(x)的变化区间为[a,b].第二步:对具有可加性的Q(x),考察增量Q(x),如能写成Q(x)=dQ(x)+o(x).第三步:求出整体量Q,即由于第二步考证比较复杂,在以后的讨论中,一般略去这一步.二、平面图形的面积由定积分的几何意义知,在区间[a,b]上,当f(x)0时,由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积为其中被积表达式f(x)dx是直角坐
3、标系下的面积元素,它表示高为f(x),底为dx的小矩形面积,见图5-7.y=f(x)f(x)xyaxx+dxbOdA一般地,平面图形以连续曲线y=f(x)与y=g(x)为上下曲边的曲边形的面积元素为dA=[f(x)–g(x)]dx.这样,由x=a,x=b,y=f(x)和y=g(x)所围图形(如图5–8)的面积为y=f(x)xyaxx+dxbOy=g(x)类似地,若平面图形由连续曲线x=(y)与x=(y)及直线y=c,y=d围成,见图5–8,则其面积为x=(y)x=(y)Oxycdyy+dy例1求由曲线y=x
4、2与y=2–x2所围成的平面图形的面积.解解方程组求得两抛物线的交点为(–1,1),(1,1),故所求平面图形(如图5–10)的面积为(1,1)(-1,1)Oxy1-1y=x2y=2-x2xx+dx例2求由抛物线y2=2x及直线y=x–4所围图形的面积.解解方程组得交点为(–2,2),(8,4),见图5–11.故所求平面图形的面积为yy2=2xy=x-4(8,4)(-2,2)4-2Oxyy+dy以y为积分变量,则y[-2,4],面积元素为例3求椭圆所围成区域的面积.解椭圆关于坐标轴对称,见图5–12,yOxxx+
5、dxba它在第一象限部分面积的4倍,因此所求面积为三、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体,这条直线叫做旋转轴.由连续曲线y=y(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积可用定积分计算.以x为积分变量,x[a,b]取[x,x+dx][a,b],在[x,x+dx]上立体的体积可以近似看成以y(x)为底面yOxxx+dxy=f(x)ab元素为dV=[f(x)]2dx.旋转体的体积为半径,高为dx的小圆柱体的体积,见图5-17,则体积类似地,
6、如果旋转体是由连续曲线x=(y),直线y=c,y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转yOxdx=(y)一周而成的立体,见图5–18,则体积为例4计算由椭圆所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积.解这个旋转体可以看成由半个椭圆而成的立体,见图5-19,及x轴围成的图形绕x轴旋转一周图5-19yOxxx+dxab特殊地,当a=b时,得球的体积例5求曲线y=sinx(0x)及x轴所围成的图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积.解选y为积分变量,则平面图形必定是与y轴围成的.因此,曲线弧y=sinx(0x)
7、必须分成左、右两条曲线弧,其方程分别表示成x=arcsiny,x=–arcsiny,见图.图5-20yOx/2CBx=-arcsinyx=arcsinyA所得旋转体的体积可以看成平面图形OABC和OBC分别绕y轴旋转所成的旋转体的体积之差.利用旋转体的体积公式得由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所成的旋转体的体积的计算还可以从另一个角度考虑.取[x,x+dx][a,b],以[x,x+dx]为底,y=f(x)为曲边的小曲边梯形绕y轴旋转可以近似看成两个圆柱体的体积差,yx
8、ay=f(x)xx+dxb设f(x)0,以x为积分变量,x[a,b],如图,即(x+dx)2f(x)-(dx)2f(x)=2xf(x)dx-f(x)(dx)2.利用上述公式计算例5,则有上式中后一项是前一项关于dx的高阶无穷小,因此体积元素为dV=2sf(x)dx.旋转体的体积为
