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时间:2020-06-28
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1、定积分在几何中的应用一、定积分的微元法二、平面图形的面积三、旋转体的体积用定积分表示一个量,如几何量、物理量或其他的量,一般分四步考虑,我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程.第一步分割:将区间[a,b]任意分为n个子区间[xi-1,xi](i=1,2,···,n),其中x0=a,xn=b.一、定积分第三步求和:曲边梯形面积A第四步取极限:n,=max{xi}0,第二步取近似:在子区间[xi-1,xi]上,任取一点xi,作小曲边梯形面积Ai的近似值,Aif(xi)xi.(i=1,2,…n)如果把第二步中的xi用x替代,中的被积分式f(x)d
2、x具有类同的形式,第二步取近似时其形式f(xi)xi,与第四步积分xi用dx替代,那么它就是第四步积分中的被积分式,第一步选取积分变量,例如选取x,并确定其范围,例如x[a,b],在其上任取一个子区间记作[x,x+dx].第二步取所求量I在子区间[x,x+dx]上的部分量I的近似值If(x)dx,第三步取定积分基于此,我们把上述四步简化为三步:几点说明:(1)取近似值时,得到的是形如f(x)dx的近似值,并且要求I-f(x)dx是dx的高阶无穷小量,关于后一个要求在实际问题中常常能满足.(2)满足(1)的要求后,f(x)dx是所求量I的微分,
3、所以第二步中的近似式常用微分形式写出,即dI=f(x)dx,dI称为量I的微元.上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法.xaOxx+dxy=f(x)y计算由区间[a,b]上的两条连续曲线以及两条直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积。由微元法,取x为积分变量,其变化范围为区间[a,b],在区间[a,b]的任意一个小区间[x,x+dx]上,相应的面积可以用x点处的函数值二、平面图形的面积ayxbOxy=f(x)x+dxy=g(x)为高所以,所求平面图形的面积A为以dx为底的矩形面积近似代替(如图),从而得到面积元素例1计算由曲线及直线所围成的平面图形
4、的面积。解:作出所围成的平面图形取x为积分变量,其变化区间为[0,1]。于是,平面图形的面积例2求出抛物线y2=2x与直线y=x–4所围成的平面图形的面积.解作草图,如图,求抛物线与直线的交点,即解方程组得交点A(2,-2)和B(8,4).xAB-24yy=x-4y2=2x(8,4)(2,-2)于是如果选择x为积分变量,那么它的表达式就比上式复杂.如果选择y作积分变量,y[-2,4],xyAB(8,4)(2,-2)-24yy=x-4y2=2xy+dy任取一个子区间[y,y+dy][-2,4],则在[y,y+dy]上的面积微元是例3求y=sinx,y=c
5、osx,解由上述公式知所围成的平面图形的面积.也可以先作出该平面图形的草图,如图,就不必用公式了.则直接可得y=cosxxOy=sinx1y
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