定积分的几何应用ppt课件.ppt

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1、电子课件史册主讲微积分第六章多元函数微积分第七章无穷级数第八章微分方程与差分方程第五章定积分及其应用定积分概念定积分的性质微积分基本公式定积分的换元与分部积分法广义积分定积分的几何应用与经济应用第五章定积分及其应用教学基本要求基本要求：掌握：牛顿－莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部积分法，广义积分的计算。熟悉：利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，利用定积分求解简单的经济应用问题，变上限积分定义的函数的导数。理解：变上限定积分定义的函数。了解：定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，反常积分的概念。重点：牛顿－莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部积分法。难点：变上限积分定义的函

2、数的导数，广义积分的计算。第五章一元积分学不定积分---第4章定积分------第5章定积分及其应用一、定积分的微元法二、平面图形的面积第六节定积分的几何应用三、旋转体的体积四、平行截面面积已知的立体的体积五、小结回顾曲边梯形求面积的问题一、定积分的微元法abxyo面积表示为定积分的步骤如下：（3）求和，得A的近似值（4）求极限，得A的精确值abxyo面积元素xx+dx微元法的一般步骤：这个方法通常叫做微元法．应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。二、平面图形的面积如何用元素法分析？，如何用元素法分析？如何用元素法分析？第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？xyo1.由曲

3、线y=f(x)、直线x=a、x=b与x轴围成的平面图形曲边梯形的面积xyocd即如何用元素法分析？如何用元素法分析？第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？2.由两条曲线y=f(x)、y=g(x)与直线x=a、x=b围成的平面图形即解两曲线的交点选为积分变量,解由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍．半径为a的圆面积解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量：考虑选择y为积分变量，如何分析

4、面积表达式？3.由曲线x=j(y)、直线y=c、y=d与y轴围成的平面图形xyocdxyocd曲边梯形的面积y即xocd4.由两条曲线x=j(y)、x=y(y)与直线y=c、y=d围成的平面图形即xyodxyode解两曲线的交点选为积分变量x=y+4例计算抛物线解　选x为积分变量，x的变换区间为[0,4],但在[0,1]上面积微元在[1,4]区间上，面积微元为与直线所围图形的面积.1.选择积分变量的原则：(1)尽量少分块(2)积分容易。总结：2.准确的作图.1.准确作图（一条曲线还是两条曲线）(1)尽量少分块(2)积分容易。利用定积分求解面积步骤3.穿线法：考虑是不是要分块，如需分块，计算

5、每块上的面积.2.选择积分变量，确定积分区间.4.选择面积计算公式.2.解为确定积分限，解方程组此题如果选作积分变量，必须分成两个部分，即练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1）（2）轴（3）38练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4）（5）一般地：如右图中的阴影部分的面积为练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（6）或12法一：以y作积分变量法二：以x作积分变量旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱三、旋转体的体积(volumeofbody)（1）圆锥圆台三、旋转体的体积(volumeofbo

6、dy)（3）（2）xyo旋转体的体积为解直线方程为例.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:利用直角坐标方程则(利用对称性)直线ax=、bx=及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为：如果旋转体是由两条连续曲线xyoab解01xy例求由所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积.直线cy=、dy=及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为：如果旋转体是由两条连续曲线xyocd例求由曲线、所围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积.解作草图,并求得曲线及的交点坐标分别为及四、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体位于垂直于x轴的两个平面x=a与x

7、=b之间，S(x)表示过x（x[a,b]）且垂直于x轴的截平面的面积，并且S(x)是x的连续函数。(1)分割(2)取近似(3)求和(4)取极限解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积垂直x轴的截面是椭圆例.计算由曲面所围立体(椭球体)解:它的面积为因此椭球体体积为特别当a=b=c时就是球体体积.的体积.四、小结定积分的元素法平面图形的面积旋转体的体积平行截面面积已知的立体的体积思