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1、5-1-1第六章定积分的应用§1微元法§2定积分的几何应用§3定积分的物理应用(不讲)5-1-2§6.1定积分的微元法5-1-3究竟哪些量可用定积分来计算呢.首先讨论这个问题.结合曲边梯形面积的计算?定积分的元素法一、问题的提出可知,用定积分计算的量应具有如下及定积分的定义许多部分区间,(即把[a,b]分成两个特点:(1)所求量I即与[a,b]有关;(2)I在[a,b]上具有可加性.则I相应地分成许多部分量,而I等于所有部分量之和)5-1-4按定义建立积分式有四步曲:“分割、有了N--L公式后,对应用问题来说关键就在于如何
2、写出方法简化步骤被积表达式.定积分的元素法得到这个复杂的极限运算问题得到了解决.是所求量I的微分于是,称为量I的微元或元素.取近似、求和、取极限”,5-1-5这种简化了的建立积分式的方法称为定积分的元素法元素法或微元法.简化步骤(1)在[a,b]上取一小区间[x,x+△x],求出[x,x+△x]上所求量△I的近似值,(也就是它的微分)f(x)dx,即△I≈f(x)dx,5-1-6[x,x+△x],这个小区间上所对应的小曲边梯形面积面积元素得定积分的元素法曲边梯形面积的积分式也可以用元素法建立如下.地等于长为f(x)、宽为d
3、x的小矩形面积,故有近似在[a,b]上取一小区间5-1-7§6.2定积分的几何应用平面图形的面积旋转体的体积已知平行截面面积的体积平面曲线的弧长小结思考题作业5-1-8一、平面图形的面积回忆的几何意义:曲边梯形的面积.启示一般曲线围成区域的面积也可以用定积分来计算.定积分在几何学上的应用定积分下面曲线均假定是连续曲线.注5-1-9求这两条曲线及直线x=a,x=b所围成区域的面积A.它对应的面积元素dA为(1)即f(x)≥g(x),定积分在几何学上的应用1.直角坐标系中图形的面积在[a,b]上任取一小区间[x,x+dx]设在
4、[a,b]上,曲线y=f(x)位于曲线y=g(x)的上方,小区间,5-1-10y=c,y=d所围成区域的面积A.(2)定积分在几何学上的应用求由曲线x=f(y),x=g(y)(f(y)≥g(y))和直线的面积元素dA为它对应小区间5-1-11例解画草图,求两曲线交点的坐标以便确定积分限,解方程组:交点法一选为积分变量,?定积分的应用5-1-12法二选y为积分变量,是否可以选y为积分变量定积分的应用5-1-13分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别(3)一般情况下,由曲线围成的有界区域,总可以算出每块的面积再相加即可.(
5、2)(1)(1)(2)定积分的应用5-1-14例解两曲线交点为由于图形关于y轴对称,故定积分在几何学上的应用5-1-15解曲线的参数方程为由对称性,作变量代换,例其中总面积等于4倍第一象限部分面积．不易积分.求椭圆所围图形的面积.一般地,当曲线用参数方程表示时,都可以用类似的变量代换法处理.定积分在几何学上的应用5-1-16面积元素曲边扇形的面积2.极坐标下平面图形的面积由极坐标方程给出的平面曲线所围成的面积A.定积分在几何学上的应用和射线曲边扇形5-1-17解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积例求双纽线所围平面图形的
6、面积.定积分在几何学上的应用5-1-18解利用对称性知定积分在几何学上的应用例求心形线r=a(1+cosθ)所围平面图形的面积(a>0)5-1-19求r=1和双纽线r2=2cos2θ所围平面图形公共部分的面积练习解利用对称性知定积分在几何学上的应用5-1-20二、体积1.旋转体的体积圆柱圆锥圆台旋转体这直线叫做旋转轴．由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．定积分在几何学上的应用5-1-21(1)如果旋转体是由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为定积分
7、在几何学上的应用旋转体的体积采用元素法取积分变量为x,为底的小曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积元素5-1-22解根据旋转体的体积公式,有例取积分变量为x,oxy定积分在几何学上的应用5-1-23（2）如果旋转体是由连续曲线及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为直线定积分在几何学上的应用体积元素5-1-24解两曲线的交点为绕y轴旋转例定积分在几何学上的应用5-1-25解例求摆线的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的旋转体的体积.绕x轴旋转的旋转体体积变量代换试问:绕y轴旋转一周所形成的旋转体
8、体积如何计算定积分在几何学上的应用5-1-26练习解两曲线的交点为绕y轴旋转定积分在几何学上的应用5-1-272.平行截面面积为已知的立体的体积上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体的体积也可用定积分来计算.那么,这个立体表示过点x且垂直于x轴的截面面积,为x的已知
