定积分的几何应用举例

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1、第1章集合第5节定积分的几何应用举例(考点)定积分的应用就是要用定积分计算某个量:可见,量分布在区间上。在实际应用时,要求我们把和找出来。,考虑是在上的分布。让有增量使。是在上的分布。因此,用积分计算量的步骤如下:(1)找到的分布区间;(2),把在上的分布量计算成如下式子即(3)算出定积分以上步骤称为定积分应用的微元法。19第1章集合5.1平面图形的面积5.1.1.直角坐标系中连续曲线所围图形的面积。分布在区间上;,在区间部分的面积;所以当时图5.1【例5.1】 求由曲线,以及直线围成的图形面积.解、面积分布在区间上;,在区间部分的面积;所以【例5.2】 求由曲线,所围成图形的面积.图5.2a

2、图5.2b解1、解得交点。如果用作自变量,面积分布在区间上;,当时,在区间部分的面积19第1章集合;当时,在区间部分的面积。表达式不一致,要用把图形割成两块计算。解2、如果用作自变量,面积分布在区间上。,在区间部分的面积。所以(从此例要学会:(1)当边界表达式不一致时,要作适当分割;(2)自变量选得好可使计算简单。)【例5.3】 求椭圆所围成的图形的面积.解、由对称性,,其中为第一象限内的部分的面积。分布在区间上;,在区间部分的面积。所以(这个结果与中学所学一致。我们这里是用定积分做出来的,而中学是没有证明的估计。)5.1.2.极坐标系中5.1.2.1.极坐标在平面中取定一条有长度单位的射线,

3、称为极坐标轴。给了平面上一点,我们有数组,其中19第1章集合是与的夹角。是由点确定的。反过来,如果给了数组,按上面规则,确定了一点。因此,可以用作点的坐标,称为点的极坐标。把直角坐标平面的作极坐标轴,则极坐标与直角坐标的关系如下5.1.2.极坐标系中的面积计算求曲线所围图形的面积。用作自变量,面积分布在区间上;,在区间部分的面积。所以如何求曲线所围图形的面积?有时候用极坐标计算面积比较简单。19第1章集合【例5.4】 计算阿基米德螺线:()从的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解、。5.1.3.由曲线的直角坐标方程写极坐标系方程(1)把代入等式得等式;(2)由等式解出。5.1体积图5.35.1.

4、1旋转体的体积曲边梯形。(1)求绕轴旋转一周得的旋转体的体积;(1)求绕轴旋转一周得的旋转体的体积。(1)分布在区间;,在区间的部分的体积(半径为高为的圆柱体);所以(转轴与积分变量一致。)(2)分布在区间;,在区间的部分的体积(一空心圆柱壳:底是周长宽高);所以(转轴与积分变量不一致。)(这里所讲与P245有什么不一样?)19第1章集合图5.519第1章集合【例5.5】 计算由摆线,的一拱及轴所围成的图形(图5.4)分别绕轴,轴旋转而成的立体体积.图5.4解、或用y作自变量,19第1章集合图5.6a图5.6b【例5.6】 设有一半径为的圆,圆心与一定直线的距离为()求此圆绕直线旋转而成的圆环

5、体的体积.解、以为轴正半轴过圆心建立直角坐标系。大半圆方程,小半圆方程。19第1章集合【例5.7】 求由曲线,轴和曲线在它极大值点处切线所围成的平面图形,绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.解1、用作自变量。分布在区间上。解2、用作自变量。分布在区间上。19第1章集合5.1.2平行截面面积可计算的几何体的体积设几何体在轴上的投影区间。,用垂直于轴且过点的平面截所得截面的面积可计算。则在上分布的体积。所以【例5.8】 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角(如图5.7),计算该平面截圆柱体所得立体的体积.解1、用作自变量。分布在区间上。,用垂直于轴且过点的平面截所得截面的面积,所以解2

6、、用作自变量。分布在区间上。,用垂直于轴且过点的平面截所得截面的面积,所以121212图5.7a图5.7b19第1章集合5.3平面曲线的弧长5.3.1在直角坐标系中设曲线段的方程为。弧长分布在上。,由于弧长微分,所以在区间上的分布。因此【例5.9】 求悬链线从到()那一段的弧长.解、弧长分布在上。。所以5.3.2曲线用参数方程表示设曲线段的参数方程为。弧长分布在上。,由于弧长微分,所以在区间上的分布。因此【例5.10】 求摆线,的一拱的长度.()解、弧长分布在上。。所以19第1章集合5.3.3曲线用极坐标方程表示设曲线段的极坐标方程为。则曲线的参数方程是容易算得。因此【例5.11】 心脏线的全

7、长.解、弧长分布在上。。所以19第1章集合习题讲解P249A类2.求由下列各曲线所围成图形的面积:(1)解、,。(注意到的周期性。)3.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积:(1)与(2)与解、(1)先画草图(看黑板)。解得。根据对称性,(2)先画草图(看黑板)。解得。根据对称性,19第1章集合11.求曲线自的一段弧长.解、曲线。。19第1章集合B类5.设,试求曲线与轴所围成图形的面积.解、当时

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