集合与常用逻辑用语.docx

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1、集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子

2、集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.AB⇔既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.两集合相等：A＝B⇔A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅

3、，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x

4、x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x

5、x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x

6、x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集

7、U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A

8、⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.考点一　集合的基本概念[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)

9、x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)

10、y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)A．3　　　　　　　　　　B．2C．1D．0(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019的值为(　　)A．1B．0C．－1D．±1[解析]　(1)因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.(2)由已知得a≠

11、0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.[答案]　(1)B　(2)C[提醒]　集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x

12、－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选A　若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1

13、)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.2．若集合A＝{x∈R

14、ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于(　　)A.B.C．0D．0或解析：选D　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝，符合题意．当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，所以a的值为0或.3.（2018·厦门模拟）已知P={x

15、2

16、析：因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5

17、x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x

18、0

19、x2－