高一数学教案：苏教版三角函数的周期性1.docx

《高一数学教案：苏教版三角函数的周期性1.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第十一三角函数的周期性教学目：掌握函数的周期性，会求函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形合思想，培养唯物主点.教学重点：正、余弦函数的周期教学点：函数的周期性教学程：由位中的三角函数可知，正、余弦函数的化呈出周期象，每当角增加（或减少）2π，所得角的与原来角的相同，故两角的正、余弦函数也分相同.即有：sin（2π＋x）＝sinx，cos（2π＋x）＝cosx，正弦函数和余弦函数所具有的种性称周期性.一般地，于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定域内的每一个，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函

2、数，非零常数T叫做个函数的周期.由此可知，2π，4π，⋯，－2π，－4π，⋯2kπ(k∈Z且k≠0)都是两个函数的周期.于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.根据上述定，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.以后如果不加特明，函数的周期一般都是指最小正周期正切函数是周期函数，且周期T＝π本P26例1、例2一般地，函数y＝Asin(ωx＋)及y＝Acos(ωx＋)（其中A、ω、常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝2π，函数y＝Atan

3、(ωx＋)的周期T＝πωω周期函数注意以下几点：1.式子f(x＋T)＝f(x)定域中的每一个都成立.即定域内任何x，式子都成立.而不能是“一个x”或“某些个x”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需一个反例就行了.例如：由于π5ππ5ππsin(＋6)＝sin12，即sin(x＋6)＝sinx.式中x取12等式成立，能12否断定5ππ5π是sinx的周期呢?不能，因于其他一些x式不一定成立.如x＝6，sin(x＋66)≠sinx.［例］函数y＝cosx(x≠0)是周期函数?解：不是，反例，当T＝2π，令x＝－2π，有cos(x＋2π)＝cos(－2

4、π＋2π)＝cos0＝1，但x＝0，不属于的定域，x不能取－2π，故y＝cosx(x≠0)不是周期函数.2.式子f(x＋T)＝f(T)是“x”而言.第1页共3页例如，由cos(x＋2kπxxπ3)＝cos3(k∈Z)，是否可以说cos3的周期为2k呢?不能!因为xx＋6kπx＋6kπxxcos(3＋2kπ)＝cos3，即cos3＝cos3(k∈Z)，所以cos3的周期是6kπ，而不是2kπ(k∈Z).3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)＝a(常数)，显然任何一个正数T都是f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f

5、(x)＝a无最小正周期.4.设T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也一定是f(x)的周期，定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，不要误认为T一定是π的倍数.有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：2π［例1］函数y＝sinπx的周期是T＝π＝2.［例2］函数y＝tan2πx的周期是T＝π1＝2.2π［例3］若对于函数y＝f(x)定义域内的任何x的值，都有f(x＋1)＝f(x)成立，则由周期函数的定义可知，函数y＝f(x)是周期函数，且T＝1是其周期.［例4］设f(x)定义在R上

6、，并且对任意的x，有f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4).求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期.证明：∵f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4)①∴f(x＋3)＝f(x＋4)－f(x＋5)②①＋②得：f(x＋2)＝－f(x＋5)③由③得：f(x＋5)＝－f(x＋8)④∴f(x＋2)＝f(x＋8)即f(x)＝f(x＋6)∴f(x)为周期函数，一个周期为6.5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f(x)(如y＝log2x，y＝｜x｜，y＝2x，y＝x2等等)将其定义域内限制在一个半

7、开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y＝x2(x∈R)在其定义域R内限制在(－1，1］，然后将y＝x2(－1＜x≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f(x)＝(x－2k)2(2k－1＜x≤2k＋1)，k∈Z，如图：［例］已知f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定义在R上的一个周期为2的函数g(x)，使x∈(－1，1］时，g(x)＝f(x).解：由g(x)的周期性可画出g(x)的图象.如图：第2页共3页对于任意的x∈R，x一定在周期为2的区间(2n－1，2n＋1］内，则x－2n∈(－1，1］.∴g(x)

8、＝g(x－2n)＝f(x－2n)＝｜x－2n｜，x2n,2nx2n1即g(x)＝x2n,2n1