高一数学教案：苏教版三角函数的周期性2.pdf

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1、1.3.1三角函数的周期性一、课题：三角函数的周期性二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。四、教学过程：（一）引入：1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？⋯⋯（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变量33202x2222函数值010101010sinxy1–x52O25221–正弦函数f(x)sinx性质如下：文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有f(x2k)si

2、n(x2k)sinxf(x)．也即：（1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x，sin(x2k)sinx恒成立。余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。（二）新课讲解：1．周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，．．．．T，使得当．．．．那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：（1）T必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说f(xT)f(x)必须对定义域内的任意x都成立。【思考】22（1）对于函数ysinx，xR有sin()sin，能否说是它的周期？

3、6363（2）正弦函数ysinx，xR是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k，kZ且k0）*（3）若函数f(x)的周期为T，则kT，kZ也是f(x)的周期吗？为什么？（是，其原因为：f(x)f(xT)f(x2T)Lf(xkT)）2．最小正周期的定义对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；（2）从图象上可以看出ysinx，xR；ycosx，xR的最小正周期为2；（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（f(x)c没有最小正周

4、期）3．例题分析：第1页共3页例1：求下列函数周期：（1）y3cosx，xR；（2）ysin2x，xR；1（3）y2sin(x)，xR．26解：（1）∵3cos(x2)3cosx，∴自变量x只要并且至少要增加到x2，函数y3cosx，xR的值才能重复出现，所以，函数y3cosx，xR的周期是2．（2）∵sin(2x2)sin2(x)sin2x，∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin2x，xR的值才能重复出现，所以，函数ysin2x，xR的周期是．111（3）∵2sin(x2)2sin[(x)]2sin(x)，262626∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin2x，xR的值才

5、能重复出现，所以，函数ysin2x，xR的周期是．说明：（1）一般结论：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，xR（其中A,,为常数，且2A0，0）的周期T；（2）若0，例如：①y3cos(x)，xR；②ysin(2x)，xR；1③y2sin(x)，xR．26则这三个函数的周期又是什么？2一般结论：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，xR的周期T．

6、

7、例2：求下列函数的周期：3xx3xx（1）ysin(x)；（2）ycoscossinsin；3222222x2x2（3）ysinxcosx；（4）ycossin；（5）ycosx．222解：（1）T4，∴周期为4；

8、

9、23xx3

10、xx3xx（2）ycoscossinsincos()cosx，∴周期为2；222222（3）ycosxsinx2sin(x)∴周期为2；42x2x（4）ysincoscosx，∴周期为2；222111（5）ycosx(1cos2x)cos2x，∴周期为．2222说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为yAsin(x)的形式，再利用公式T进行求解。五、课堂练习：求下列函数的周期：xx（1）ysin3x，xR；（2）ycos，xR；（3）y3sin，xR；341（4）ysin(x)，xR；（5）ycos(2x)，xR；（6）y3sin(x)，xR．10324第2页共3页六、小结：1.周期函

11、数、最小正周期的定义2.yAsin(x)型函数的周期的求法。第3页共3页