哈理力十四章--虚位移原理的应用与技巧.ppt

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1、第十四章虚位移原理理论力学1在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗贝尔原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。理论力学2中南大学土木建筑学院一、约束及约束方程限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方

2、程。平面单摆例如：曲柄连杆机构OA(xA、yA)xyjrlB(xB、yB)jA(x、y)Oxyl§14-1　约束虚位移和虚功理论力学3中南大学土木建筑学院根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：二、约束的分类1、几何约束和运动约束限制质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。几何约束方程的一般形式为当约束对质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。运动约束方程的一般形式为理论力学4中南大学土木建筑学院约束条件不随时间改变的约

3、束为定常约束。当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。2、定常约束和非定常约束例如：重物A由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长l0,匀速v拉动绳子。x2+y2=(l0-vt)2约束方程中显含时间t几何约束：运动约束：例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。RwCxyOA(x、y)Oxyl0v理论力学5中南大学土木建筑学院在两个相对的方向上同时对质点系限制的约束称为双面约束。双面约束的约束方程为等式。只能限制质点系单一方向的约束称为单面约束。单面约束的约束方

4、程为不等式。3、双面约束和单面约束jA(x、y)Oxyl杆jA(x、y)Oxyl绳理论力学6中南大学土木建筑学院如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。4、完整约束和非完整约束例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，是微分方程，但经过积分可得到，该约束仍为完整约束。几何约束或约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。本章只讨论质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）理论力学7中南大学土木建筑学院确定自由质点在空间的位置：(x

5、、y、z)3个确定自由质点系在空间的位置：(xi、yi、zi)(i=1、2…n)3n个确定受s个完整约束的非自由质点系：需要(3n-s)个独立坐标。确定一个受完整约束质点系的位置所需的独立参数的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。前述曲柄连杆机构例子中，确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程，因此有一个自由度。三、自由度和广义坐标理论力学8中南大学土木建筑学院一般受到s个约束、由n个质点组成的质点系，其自由度为k=3n-s通常，n与s很大而k很小。为了确定质点系的位置，用适

6、当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x、y、z、s等）也可以取角位移（如、、、等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。理论力学9中南大学土木建筑学院广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标。OA(xA、yA)xyjrlB(xB、yB)则理论力学10中南大学土木建筑学院两个自由度取广义坐标

7、，g例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。jA(x1、y1)OxyabB(x2、y2)g理论力学11中南大学土木建筑学院一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q2、…qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。i=1，2…n理论力学12中南大学土木建筑学院某瞬时，质点系中的某质点发生的为约束所允许的、任意的无限小位移，称为该质点（在该瞬时）的虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号表示虚位移，如dr，dx，dy，dj等。四、虚位移OAjrlBdjdrAd

8、rBdrAdrBMjAOxyldrAdxAdyAdj理论力学13中南大学土木建筑学院虚位移与真正运动时发生的实位移不同①实位移是在一定的力作用下和给定的初始条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。②实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。③实位移是在一定的时间