虚位移原理与力学的变分原理ppt课件.ppt

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1、§1.2虚功原理虚位移及其计算虚功和理想约束虚位移原理及其应用1.理解虚位移的概念和实位移的对比。2.虚功原理的含义和应用。重点静力学动力学拉格朗日方程参考：P5－12(T)，P25-29(L)在给定瞬时，质点或质点系为约束所容许的任何微小位移，称为该质点或质点系的虚位移。图中杠杆ＡＢ在水平位置的虚位移是绕Ｏ点的微小转动，即由ＡＢ转过一微小角度到。一、虚位移的概念虚位移处在约束曲面的切平面内。二、虚位移的计算1、几何法方法①：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在此两点连线上的投影相等——速度投影定理三角形OAB内角和Θ+φ+∠OAB=

2、180º各质点的虚位移，必须满足约束条件，存在一定的关系。常用的分析方法有几何法和解析法。虚位移与速度成比例。由于为AB的瞬心，故方法②：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度分布，等同于平面图形绕其速度瞬心的定点转动。－瞬心法若已知平面图形上A、B两点速度VA、VB的方向，则作VA、VB的垂线，其交点P为该瞬时平面图形的速度瞬心,其速度为零。由正弦定理可得出2、解析法解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。方法1：对上式进行变分运算得：有约束方程由速度投影定理参考：变分的运算规则方法2：把表示成的函数，也可求出

3、虚位移间的关系。因为作变分运算所以几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。3.广义虚位移(i=1,2,……,n)广义虚位移虚位移将C、A、B点的坐标表示成广义坐标的函数，得解析法实例对广义坐标求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：OC=CB=a问题一：虚位移与实位移的区别1实位移是在力的作用下和实际发生的；虚位移则是在约束容许的条件下可能发生的。一个静止的质点或质点系不会发生实位移，但可以使其有虚位移。2实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，与时间无关。以后用代表虚位移，以区别实位移。3在完整定常约束的情形下，

4、实位移必然是虚位移之一。4在完整非定常约束情形下，所谓虚位移，是指在给定瞬时，把约束看作不变的，而为约束所容许的任何微小位移。实位移就不再是虚位移之一。三.虚位移原理1.理想约束:设某一约束的约束力在质点系的任何虚位移中的元功(虚功)之和等于零，则该约束称为理想约束.常见的几种理想约束:(1)光滑支承面/不可伸长的绳索。约束力恒垂直于虚位移，在质点系的任何虚位移中约束力的元功都等于零。FNδr理想约束：力与位移垂直，或相互抵消。注意：对每个质点上约束力所做的元功求和，是对质点数求和。(2)连结两刚体的滑轮。如图所示。绳子作用于两刚体的力

5、FN与F`N大小和方向都相同，即FN＝F`N。但两刚体的虚位移刚好大小相等，方向相反。2.虚位移原理可表述如下：受理想、双面、定常约束的质点系在某一位置保持平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中的元功之和等于零。设用Fi代表作用于任一质点Mi的主动力的合力，以δri代表该点的虚位移，则上述原理可用数学公式表示为：注意：对每个质点上主动力所做的元功求和，也是对质点数求和。证明：(1)必要性：即质点系平衡，成立。质点系处于平衡→任一质点Mi也平衡→设Mi的虚位移为，则由于是理想约束所以对整个质点系：或：(2)充分性：

6、即成立，质点系一定平衡。反证法：假设成立，质点系不平衡（运动）。在作用下Mi产生实位移，取，则对质点系：理想约束：与前述条件矛盾故时质点系必处于平衡。设质点系开始处于静止，在主动力和约束力作用下，质点系中至少有一个质点由静止开始运动。令Mi为这样的质点，则关于虚功原理几点说明:1)虚功原理是一条运用统一观点和方法处理各类力学系统(质点、质点系、刚体等）静力学问题的基本原理，有很大普适性。2)虚功原理不是用静止观点解决静力学问题,而是采用变动观点来寻找平衡的条件.3)虚功原理只涉及到主动力,包括外力和内力中的主动力,而未涉及未知的约束力,

7、从而给解决受有理想约束的多约束力学系统的静力学问题带来极大的简化.4)虚功原理中的主动力所做的虚功之和为零,是对任意的虚位移而言,而不是特殊的虚位移.在上式中，令则称为对应于广义坐标的广义力。广义力的数目与广义坐标的数目相等（自由度）。则广义坐标是相互独立的广义虚位移是任意的3.以广义坐标中的虚功原理具有理想约束的完整系质点平衡的必要与充分条件是：对应于所有广义坐标的广义力都等于零。补充参考：主动力均为保守力的平衡条件表明处于静平衡的系统的势能取极小值、极大值、或是稳定值。且对有势系,势能取极值是系统静平衡的充要条件.理想约束的条件是从

8、实际约束的主要因素中抽象出来的，在理想约束不满足的情况下，可增加主动力和约束力而视为理想约束。具体处理方法是：把非光滑约束中起限制作用的法向分量视为约束力，而将起限制作用的切向分量——摩擦力视为待求的主动力