理论力学虚位移原理及其应用课件.ppt

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1、15虚位移原理及应用质点系可分为自由质点系和非自由质点系。自由质点系：质点系的各质点不受任何限制，可以在空间自由运动，它们的运动轨迹决定于质点系的外力和内力。例如，各星体组成的太阳系。非自由质点系：质点系的各质点受到一定限制，在空间不能自由运动，它们的位置或速度必须遵循一定的限制条件。例如，用刚杆连接的两质点，它们之间的距离保持不变。矢量静力学（Vectorialstatics）：以静力学公理为基础，以矢量分析为特点，通过主动力与约束力的关系表达了刚体的平衡条件。刚体的平衡条件对于任意非自由质点系来说，只是必要的，并非

2、充分的。分析静力学（Analyticalstatics）：用数学分析的方法研究非自由质点系的平衡问题，平衡条件表现为主动力在的虚位移上所做虚功的关系。虚位移原理（Principleofvirtualdisplacement）：给出任意非自由质点系平衡的必要与充分条件，是解决质点系平衡问题的普遍原理。本章重点虚位移、理想约束的概念，应用虚位移原理求解物体系的平衡问题。本章难点广义坐标、广义力的概念，广义坐标形式的虚位移原理。15.1约束及其分类15.1.1约束与约束方程位形（Configuration）：质点系内各质点在

3、空间的位置的集合。约束（Constraints）：在非自由质点系中，那些预先给定的限制质点系位形或速度的运动学条件。例如，限制刚体内任意两点间的距离不变的条件，限制车轮在直线轨道上滚动而不滑动的条件约束方程（Contraintequations）：限制条件的数学方程式。例：15.1.2约束分类15.1.2.1定常约束和非定常约束定常约束或稳定约束（Steadyconstraint）：约束方程中不显含时间t，即约束不随时间而变。以上各例都是定常约束。非定常约束（Unsteadyconstraint）：约束方程中显含t。约

4、束方程中显含时间t。悬挂点移动的单摆的约束是非定常约束。图15-1中的单摆，悬挂点O若以匀速v沿x轴向右运动，约束方程成为15.1.2.2双面约束与单面约束双面约束（Bilateralconstraint）：约束方程中用等号表示的约束。能限制两个相反方向的运动。由不等式表示的约束。单面约束（Unbilateralconstraint）：图15-1中的单摆，将摆杆以细绳代替，因绳子不能受压，约束方程成为15.1.2.3完整约束与非完整约束约束不仅对质点系的几何位形起限制作用，而且还可能与时间、速度有关。约束方程的一般形式

5、可表示为（15-1）约束方程中显含坐标对时间的导数，称运动约束。约束方程中不显含坐标对时间的导数，称几何约束。运动约束能积分成有限形式的约束。完整约束（Holonomicconstraint）：例如约束方程可以积分为常数，故为完整约束。几何约束也属完整约束。几何约束方程的一般形式为（15-2）几何约束及可积分的运动约束统称为完整约束。（15-3）含有坐标导数的方程不能积分成有限形式的约束非完整约束（Nonholonomicconstraint）：本章只讨论双面、定常的几何约束。其约束方程的一般形式为15.2虚位移与自由

6、度15.2.1虚位移质点或质点系在给定位置（或瞬时），为约束所容许的任何无限小位移，称为质点或质点系在该位置的虚位移（Virtualdisplacement）。d是变分（Variation）符号。dr表示函数r(t)的变分。变分运算与微分运算相类似。例如：x=2sinj，dx=2cosjdj。虚线位移：，虚角位移：。，质点系的虚位移是一组虚位移，而且彼此并不独立；不同位置，质点或质点系的虚位移并不相同，虚位移必须指明给定的位置（或瞬时）。虚位移必须为约束所容许，必须是无限小的。如图15-4所示曲柄滑块机构：虚位移是人为

7、假设的，并非真实的位移。在系统的约束所容许的前提下，可以给定系统任意虚位移。同时虚位移又完全取决于约束的性质及其限制条件，不是虚无飘缈，也不可随心所欲地假设。实位移取决于作用于系统上的主动力以及所经历的时间，其位移可以是无限小的，也可以是有限值，其方向是惟一的。虚位移与主动力和时间无关，虚位移只能是无限小值，方向却可以不止一个。在定常约束条件下，质点系在某位置所发生的微小实位移必是其虚位移中的一个（或一组）。由于约束的限制，质点系内各质点的虚位移并不独立。质点系独立的虚位移（坐标或坐标变分）数目，称为质点系的自由度（D

8、egreeoffreedom）。15.2.2自由度自由质点系自由度：一空间自由质点：（x,y,z)3个自由度。一空间自由质点系：(xi,yi,zi)(i=1,2……n)3n个自由度。一平面自由质点：（x,y,z)2个自由度。一平面自由质点系：(xi,yi,zi)(i=1,2……n)2n个自由度。定常几何约束的质点系，n个质点，受到