例举求向量数量积的几种方法-论文.pdf

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1、数学版中学生理科应试·23·例举求向量数量积的几种方法浙江省兰溪市技工学校(321100)陈国健—}——÷‘因为有了向量的运算(向量的线性运算和数量．．1ABl·lACl=8．．．：积运算)，用向量解决问题充满了无限生机和力量，．．l窟I．11．。。sA：2如果不能进行运算，向量只是示意方向的路标，基于二、几何意义法这一点，在每年高考试题及平时复习资料中，经常出a·6的几何意义是：数量积a·b等于的长度现求向量的数量积(或范围)的问题，很多学生固守Ial与b在a的方向上的投影lbIcosO的乘积此法定义法，结果对有些试题无破

2、解之法而惜败考场．笔优点在于无需考虑两向量夹角，只要找到一向量在另者列举常用五种方法，供读者参考：一向量方向上的投影就成功了一半，事实上此时转化一、定义法为平面几何中线段长短变化问题，体现了向量“形”的题中直接或间接告知两向量模和夹角，即可用特征，对两个都是变化的向量求数量积特别有用．此法，此法也是最基础，使用最广泛的方法．例3已知点P是圆+Y例1手表的表面在一平面上，整点1、2、=1上一点，是直线Y=+、3／2上一点，0为坐标原点，则3⋯⋯12这l2个数字等间隔分布在半径为-4-的圆／一MP·MO的最小值为．——周上，从整

3、点i到整点+l的向量记作tit，则分析由题设知：两向量———————————————————'￡lt2‘tzt3+t2t3t3t4+⋯+l2￡1‘tit2=——一．都是“动态”的，要使数量积有图1分析易知由12个整点组成的多边形是正十最小值，只要IMP1．1MOI最小即可，所以过圆心0二边形，12个内角相等且为150。，每条边所对的圆作直线的垂线段OM，交圆0于点P，如图1，易求心角均为3o。，所以正十二边形的每边长为ItltI=IMOf；：d=3，IMPI=d—r=2，所以MPI赢I：⋯：2rsin15。：×1-cos30

4、~：·MO的最小值为6．例4在棱长为1的正方体ABCD—AB。CD中，是BC的中点，P，Q是正方体内部及面上的两动点，则A·PQ的最大值是()．1一·2t3：(1一)×cos3。。：2一3(此．．·tA．÷B．1C．÷D．÷二斗———0处很多同学误用cosl50。，主要没有弄清向量的夹角分析此题难点在于PQ无法确定和表示，使与向量方向有关)学生望而却步．其实无论空间和平面，要使两向量数‘．．tlt2。t2t3+t2t3‘t3t4+⋯+t12tl·tlt2：12×量积最大，只要保证方向一致且一个向量在另一个向量上的投影最大，如

5、俯视图图2，PQ在面AC上最(譬一3)=_9．、．长投影为IACJ，而C在射线A上最长投影为IANI，例2在zhABC中，角A，B，C所对的边分别为故求A肘·PQ的最大值实质为求线段AN和AM长的a，b，c且满足ccosB+bcosC：4acosA，S△=~i3，乘积最大值．易求AM=-5-，由AABM—z~CNM，得则．：一．分析由射影定理知，CM=塑AM求得CN=鱼一，’叫l可一5，’a=ccosB+bcosC=4acosA．．’⋯=÷'．．=孚又S△脚：1lAB1．1a--d1．sinA：=8II·II=图2·24·中

6、学生理科应试AⅣ=(=所以AM_·：不小于÷，$IJAP·曰户的取值范围为—一．．分析如图4建立直角坐标÷，~[1AM·PQ的最大值为÷．二二系，设尸坐标为(，)，)，由题设知，三、基底法l≤≤2，1≤Y≤2，且A(0，0)、当两向量模和夹角都未知时，且建立坐标系不(3，0)．‘种晴况下，考虑此法，即要求数量积的两个向量用基底．．AP。=(，Y)，BP=(∞一线性表示，而充当基底的向量的模和夹角已知或易求．3，)，)，：3+)，z：图4·．：一例5已知△ABC中，AB=5，AC=6，0为．．△ABC外接圆的圆心，~IJAO·

7、日C的值为——．(一÷)+一车因为，y是独立变量，当)，=2，=分析将AB、AC看作基底，Be=AC—A，AO直接由基底表示难度大，可以“曲线救国”，取BC中1或2时，．最大f2，当y：1，：要时，．．．．．．—。4．一1—0点D，连接AD、OD，则AD：AD。+DD，AD=÷(AB+二：蝴一5所·的取值范围为[一5，，2]．AC)，由垂径定理知，OD上BC，所ly,oD·BC：0，所五、平方法———————————————1—．—以AO·Be=(AD+D0)·曰C=AD·BC=÷(A日当条件中出现某几个向量的等式时，可以通

8、过移项，使产生数量积的两个向量在一起，两边平方就+C)．·(AC一—詹A)：=It(IACI：一f吞AI：)：=．二二达到目的了．此题不是把A0，BC用AB，AC线性表示出来，再例8若AABC内接于以0为圆心，1为半径的圆，求数量积(事实上后续无法进行下去)，而是巧妙地将且3+4+5：o，