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1、§7－2数量积与向量积一、两向量的数量积G实例一物体在常力F作用下沿直线从点M移动GG1到点M，以s表示位移，则力F所作的功为2GGGGW=
2、F
3、
4、s
5、cosθ(其中θ为F与s的夹角)启示两向量作这样的运算,结果是一个数量.GGGG定义向量a与b的数量积为a⋅bGGGGGGa⋅b=
6、a
7、
8、b
9、cosθ(其中θ为a与b的夹角)GGGGGba⋅b=
10、a
11、
12、b
13、cosθθGaGGGG
14、b
15、cosθ=Prjb,向量b在向量a方向上的投影aGGGG
16、a
17、cosθ=Prja,向量a在向量b方向上的投影bGGGGGG∴a⋅b=
18、b
19、Prja=
20、a
21、Prjb.ba结论两向量的数
22、量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”.关于数量积的说明：GGG2(1)a⋅a=
23、a
24、.GGGGG2证∵θ=0,∴a⋅a=
25、a
26、
27、a
28、cosθ=
29、a
30、.GGGG(2)a⋅b=0⇐⇒a⊥b.GGGG证(⇒)∵a⋅b=0,
31、a
32、≠0,
33、b
34、≠0,πGG∴cosθ=0,θ=,∴a⊥b.2GGπ(⇐)∵a⊥b,∴θ=,∴cosθ=0,2GGGGa⋅b=
35、a
36、
37、b
38、cosθ=0.数量积符合下列运算规律：GGGG（1）交换律：a⋅b=b⋅a;GGGGGGG（2）分配律：(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c;GGGGGG（3
39、）若λ为数(λa)⋅b=a⋅(λb)=λ(a⋅b),GGGG若、为数λμ：(λa)⋅(μb)=λμ(a⋅b).证明（1）、（3）由定义可证余下证明（2）仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仿此证明GGG(a+b)⋅cGGG=
40、c
41、Prj(a+b)cGGGGGG=
42、c
43、(Prja+Prjb)a+bbccGGGGaG=
44、c
45、Prja+
46、c
47、PrjbccGGGGGc=a⋅c+b⋅cGGGGGGGG设a=ai+aj+ak,b=bi+bj+bkxyzxyzGGGGGGGGa⋅b=(ai+aj+ak)⋅(bi+bj+bk)xyzxyzGGGGGGGGG∵i⊥j⊥k,∴i⋅
48、j=j⋅k=k⋅i=0,GGG∵
49、i
50、=
51、j
52、=
53、k
54、=1,GGGGGG∴i⋅i=j⋅j=k⋅k=1.GGa⋅b=ab+ab+abxxyyzz数量积的坐标表达式GGGGGGa⋅ba⋅b=
55、a
56、
57、b
58、cosθ⇒cosθ=GG,
59、a
60、
61、b
62、ab+ab+abxxyyzzcosθ=222222a+a+ab+b+bxyzxyz两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为GGa⊥b⇐⇒ab+ab+ab=0xxyyzzGG例1已知a={1,1,−4}，b={1,−2,2}，求（1）GGGGGGa⋅b；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影.GG解(1)a⋅b=1
63、⋅1+1⋅(−2)+(−4)⋅2=−9.ab+ab+abxxyyzz(2)cosθ=222222a+a+ab+b+bxyzxyz13π=−,∴θ=.24GGGGGGGa⋅b(3)a⋅b=
64、b
65、Prjba∴Prjba=G=−3.
66、b
67、GGGGGGG例2证明向量c与向量(a⋅c)b−(b⋅c)a垂直.GGGGGGG证[(a⋅c)b−(b⋅c)a]⋅cGGGGGGGG=[(a⋅c)b⋅c−(b⋅c)a⋅c]GGGGGG=(c⋅b)[a⋅c−a⋅c]=0GGGGGGG∴[(a⋅c)b−(b⋅c)a]⊥c例3应用向量证明Cauchy—Schwarz不等式222222
68、ab
69、+ab+ab
70、≤a+a+a⋅b+b+b112233123123GG证记a={a1,a2,a3}b={}b1,b2,b3GG222222则
71、a
72、=a1+a2+a3
73、b
74、=b1+b2+b3GGa⋅b=ab+ab+ab112233GGGGGG⇒
75、a⋅b
76、=
77、a
78、⋅
79、b
80、⋅
81、cos(a,b)
82、GG222222≤
83、a
84、⋅
85、b
86、=a+a+a⋅b+b+b123123222222⇒
87、ab+ab+ab
88、≤a+a+a⋅b+b+b112233123123例4应用向量证明直径所对的圆周角是直角证如图所示yA222圆的方程：x+y=RBC设A点的坐标为ox(x,y,0)则AB={−R−x
89、,−y,0}AC={R−x,−y,0}⇒AB⋅AC={−R−x,−y,0}⋅{R−x,−y,0}222=x+y−R=0⇒AB⊥ACGGG例5设a,b,c是三个单位向量始于同一点OGKGG且a+b+c=0证明它们终点的连线构成一等边三角形A证一GGGAB=b−aaGGBC=c−bGGbOcGGCA=a−cBC2GGGG⇒
90、AB
91、=(b−a)⋅(b−a)GGGG22=
92、a
93、+
94、b
95、−2a⋅bGGG又a+b=−cGGGGGGGG22⇒(a+b)⋅(a+b)=
96、a
97、+
98、b
99、+2a⋅bGGG2=(−c)⋅(−c)=
100、c
101、GGGGG1由
102、a
103、=
104、b
105、=
106、c
107、=1⇒a⋅b=−
108、22⇒
109、AB
110、=322同
