数量积与向量积(VII)

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1、沿与力的夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称记作数量积.引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为第二节数量积与向量积一、两向量的数量积结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”.由数量积的定义得：证证（1）交换律：（3）分配律：（2）若为数若、为数：2.数量积的运算规律：仅就上图所示的情形给出证明，其它情形可仿此证明证明设3.数量积的坐标表达式（两向量夹角余弦的坐标表示式）由此可知两向量垂直的充要条件为由定义证如

2、图,利用向量证明三角形的余弦定理.c2=a2+b22abcos证:

3、c

4、2=

5、ab

6、2=(ab)(ab)=aa+bb2ab=

7、a

8、2+

9、b

10、22

11、a

12、

13、b

14、cos故:abc例2由于c=ab,于是=a(ab)b(ab)c2=a2+b22abcos已知三点M(1,1,1),A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.AMB即为向量MA与MB的夹角.由MA=(1,1,0),MB=(1,0,1)得:cosAMB=所以例3解:实例二、两向量的向量积1.定义由向量积

15、的定义知：//向量积也称为“叉积”、“外积”.2.向量积的运算规律：（2）分配律：（3）若为数证////（1）反交换律：设3.向量积的坐标表达式三阶行列式解已知ABC的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求ABC的面积.xyzABCo由向量积的定义而AB=(2,2,2)AC=(1,2,4)所以=4i6j+2k于是例5解结论向量的数量积向量的向量积（“.”结果是一个数量）（“”结果是一个向量）（注意两向量垂直、共线的条件）四、小结思考题1应用向量证明Cauchy—Schwa

16、rz不等式证记则思考题2应用向量证明直径所对的圆周角是直角证如图所示xyoABC圆的方程：设A点的坐标为则证明题3解答