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1、第四节向量的数量积与向量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积一、向量的数量积引例外力做功问题由物理学可知，若质点受外力F的作用，沿直线移动，得到位移s.设位移方向与力的方向间的夹角为(F,s)，则这个力所做的功W为W=
2、F
3、
4、s
5、cos(F,s).定义1若给定向量a，b，定义
6、a
7、
8、b
9、cos(a,b)为向量a与b的数量积，记为a·b，即a·b=
10、a
11、
12、b
13、cos(a,b)，又称之为点积.性质两个非零向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零.由数量积的定义可以证明a·b=b·a，(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)(λ为一数量
14、)，(a+b)·c=a·c+b·c.若a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，则向量的数量积可以用向量的坐标来表示：由于i，j，k是互相垂直的基本单位向量，因此于是可得由此可得知两个非零向量a，b垂直的充分必要条件的坐标表达式:特别地，当a=b时，有注意到a·b=
15、a
16、
17、b
18、cos(a,b)，可知当a，b都是非零向量时，它们间夹角的方向余弦可以由坐标表达式表示为例1证明证(a+b)·(a–b)例2已知a=(3,0,–1)，b=(–2,–1,3)，求a·b，(a,b).由于且解例3设a=2i+xj–k，b=3i–j+2k，
19、且a⊥b，求x.解由于a⊥b，可知必有即2·3+x·(–1)+(–1)·2=0.整理得方程–x+4=0，解方程得x=4.二、两向量的向量积引例当用扳手拧螺母时，若扳手沿逆时针方向转动，则其螺母朝外移动.若扳手沿顺时针方向转动，则螺母朝里移动，而其移动的距离，取决于所施外力及扳手的臂的长短.其移动的方向垂直于外力方向与扳手的臂所决定的平面.从力学上看螺母移动取决于力矩M，而力矩又取决于力臂L和力F，且定义2由向量a，b可以作出向量c，使c满足下列三个条件：(2)c⊥a，c⊥b，(3)a，b，c成右手系，则称c为a，b的向量积，记为c=
20、a×b，通常也称c为a，b的叉积.(1)
21、c
22、=
23、a
24、
25、b
26、sin(a,b)，对于OA，OB的向量积OC也可以给出几何解释：OC的模在数值上等于以OA，OB为两邻边的平行四边形的面积，而OC垂直于OA，OB所决定的平面，且OA，OB，OC成右手系.性质两个非零向量平行的充分必要条件是它们向量积为零.若，可以导出a×b的坐标表达式.由向量积的定义可以证明：由于i，j，k为互相垂直的基本单位向量，可得知因此可得若利用行列式的形式，上式可以写为形式记法注意a×b=0意味着当x2，y2，z2中有一个为零时，不妨设x2=0，而y2，z2不同时
27、为零，则约定x1=0，此时上述比例记法仍可以认为有意义.因此可以说若a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，则a∥b的充要条件为例4设a=(0,1,–2)，b=(2,–1,1)，求与a和b都垂直的单位向量.解令c=a×b，由向量积的定义知c与a和b都垂直.因此所以与a和b都垂直的单位向量为±ec，即而与c同方向的单位向量.例5已知空间中的三点A(1,1,0)，B(–2,1,3)，C(2,–1,2)，求△ABC的面积.解由向量积的定义可以得到启发，作向量AB，AC，以AB，AC为邻边的平行四边形的面积值等于
28、AB×AC
29、，
30、而该平行四边形的面积=2S△ABC.由于因此
