向量的数量积与向量积.ppt

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1、一、两向量的数量积二、两向量的向量积第三节向量的数量积与向量积第八章向量代数空间解析几何若有一质点在常力(大小与方向均不变)F的作用下，则位移，1.数量积的定义及其性质规定两向量a,b的正方向之间不超过180º的夹角为向量a与b的夹角，记作(a,b)，或(b,a).由点A沿直线移动到点B，由物理学可知，力F所做的功为FAsB一、两向量的数量积定义1两向量a、b的模及其夹角余弦的连乘积，称为向量a、b的数乘积或点积，记为ab，即由数量积的定义，上述作功问题可以表示为W=Fs.abab(a)b

2、aba(b)称为向量a在向量b上的投影，记为ab,定义2即类似地所以，两向量的数量积也可以用投影表示为交换律结合律分配律由数量积的定义可知所以当a、b均为非零向量，当a、b中至少有一个是零向量时，我们规定零向量与任何向量都垂直.即a与b垂直.则cos(a,b)=0.(2)若两个非零向量a、b互相垂直，即ab.即有ab=0；反之，且ab=0时，则cos(a,b)=0，这样，两个向量互相垂直的充要条件是由这个结论可得ab=0.即因此，两向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和.利用数量积的运算

3、规律有：2.数量积的坐标计算式均为非零向量，3.两非零向量夹角余弦的坐标表示式由两向量的数量积定义可知:例1已知a=i+j，b=i+k，求ab,及ab.解由公式可得且与a垂直，因为它在xy坐标面上，向量a=4i+3j+7k垂直例3求在xy坐标面上与的单位向量.解设所求的向量为b=x,y,z.所以z=0.又因为b是单位向量所以即有解之得故所求向量正是a向量分别在i，j，k上的投影，例4求ai,aj及ak.解因为i=1,0,0,j=0,1,0，k=0,0,1，所以这就是说，向量a

4、的坐标ai，aj，ak为简便起见，今后我们常称它们依次是a在x，y，z轴上的投影.它的正方向由右手法则确定，定义3设有两向量a，b，若向量c满足:(2)c垂直于a，b所确定的平面，则称向量c为a与b的向量积，记为a×b，即c=a×b.因此向量积也称为叉积.二、两向量的向量积由向量积的定义可知，a×b的模等于以a、b为邻边的平行四边形面积.向量积具有下列运算规律：由向量积的定义可知:(1)i×j=k，j×k=i，k×i=j;(2)两个非零向量a，b互相平行的充分必要条件是a×b=0.c=a×bab

5、所以sin(a,b)=0.当a，b中至少有一个为零向量时，事实上，若a//b，则(a,b)=0或，即有因此ab=0.当a、b为非零向量，反之，且ab=0时，则sin(a,b)=0.从而断定(a,b)=0或，即a//b.我们规定零向量与任何向量平行.这样，两个向量平行的充要条件是这两个向量的向量积为0.由此可知:利用向量积的运算规律有：2.向量积的坐标计算式为了便于记忆，我们借用行列式记号，将上式表示为：由于两个向量a，b平行的充要条件是ab=0，因此，可将a，b平行的充要条件表示为:当

6、bx，by，bz全不为零时，有我们约定相应的分子为零，例如:当bx，by，bz中出现零时，应理解为:由公式得解例5求以A(2,－2,0)，B(－1,0,1)，C(1,1,2)为顶点的△ABC的面积.例6解由向量积的定义可知△ABC的面积故△ABC的面积若ab=c，则c同时垂直于a和b，例7求同时垂直于向量和解由向量积的定义可知，因此，与c＝ab平行的单位向量应有两个：和且所以a=-(b+c),从而例8已知a+b+c=0，求证证明因为a+b+c=0，同理可证所以有cbba´=´