向量数量积和向量积.ppt

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1、第三节向量的数量积和向量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积一、两向量的数量积1定义两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，称为向量a与b的数量积，记作a·b,即数量积也称点积。力学意义：一物体在力F的作用下，沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为α,如右图，则力对物体做的功为BSAθF2性质：（1）a·a=

2、a

3、2（2）（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有3运算律（1）交换律（2）分配律（3）结合律其中λ为常数。4数量积的计算公式设向量则有证明：则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为此时，对于非零向量a，b，有5向量在轴上

4、的投影设A为空间一点，u轴已知，如图。Au过点A作与轴垂直的平面，平面与轴的交点A‘称为A在轴上的投影。A'对于已知向量，u轴上的有向线段的模称为向量在轴u上的投影，它是一个数量，记作BB'那么θ为向量与轴u的夹角。用e表示u轴上的单位向量，则a·e为向量a在e方向上的投影，那么有例1已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求：（1）a·b；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影。解：（1）（2）所以（3）因为所以例2求证余弦定理θ为边CA，CB的夹角。证明：如图所示的△ABC，令ABCθ可得那么所以证毕二、两向量的向量积1定义

5、设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：（1）

6、c

7、=

8、a

9、

10、b

11、sinθ，θ为向量a和b的夹角；（2），且向量a，b，c的方向满足右手定则，如图；那么向量c称为向量a和b的向量积，记作a×b，即C=a×b向量积又称为叉积。★向量积模的几何意义是：以a，b为邻边的平行四边形的面积。abcθO为一根杠杆L的支点，LOPF有一个力F作用于其上点P处，F与的夹角为θ，θ由力学规定，力F对支点O的力矩是一个向量M，Q它的模而M的方向垂直于与F所决定的平面，M的指向是是按右手规则从以不超过π的角的转向F来确定，因而实际上★力学意义：力矩，如下图所示

12、。2两向量积的性质（1）a×a=o；（2）（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ，则3两向量的向量积的运算律（1）a×b=-b×a；（2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b（λ为常数）（3）（a+b）×c=a×c+b×c4两向量的向量积的坐标表示设向量则有此时，对于非零向量a，b，有约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。例3设向量解：例4设向量问a×b与c是否平行？解：显然故a×b//c.例5问向量是否共面？解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？）由于所以，=4-2-2=0因而

13、a，b，c共面。例6求以点A（1，2，3），B（3，4，5）和C（-1，-2，7）为顶点的三角形的面积S。解：根据向量积模的几何意义可知，所求三角形的面积等于而故所以