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1、数量积与向量积一、两向量的数量积1、数量积的物理背景:设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2.以s表示位移.由物理学知道,力F所作的功为W=
2、F
3、
4、s
5、cosq,其中q为F与s的夹角.2、数量积:对于两个向量a和b,它们的模
6、a
7、、
8、b
9、及它们的夹角q的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作a×b,即a·b=
10、a
11、
12、b
13、cosq.3、数量积与投影:由于
14、b
15、cosq=
16、b
17、cos(a,^b),当a¹0时,
18、b
19、cos(a,^b)是向量b在向量a的方向上的投影,于是a·b=
20、a
21、Prjab.同理,当b¹0时,a·b=
22、b
23、Prjba.4、数量积的性质:(1
24、)a·a=
25、a
26、2.(2)对于两个非零向量a、b,如果a·b=0,则a^b;反之,如果a^b,则a·b=0.如果认为零向量与任何向量都垂直,则a^bÛa·b=0.5、数量积的运算律:(1)交换律:a·b=b·a;(2)分配律:(a+b)×c=a×c+b×c.(3)(la)·b=a·(lb)=l(a·b),(la)·(mb)=lm(a·b),l、m为数.例1试用向量证明三角形的余弦定理.6、数量积的坐标表示:设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则a·b=axbx+ayby+azbz.7、两向量夹角的余弦的坐标表示:设q=(a,^b),则当a¹0、b
27、¹0时,有.例2已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求ÐAMB.解从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则ÐAMB就是向量a与b的夹角.a={1,1,0},b={1,0,1}.因为a×b=1´1+1´0+0´1=1,,.所以.从而.例3设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的流速均为（常向量)v.设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a)）,计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为ρ).二、两向量的向量积1、向量积:设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出:c的模
28、c
29、=
30、a
31、
32、b
33、si
34、nq,其中q为a与b间的夹角;c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定.那么,向量c叫做向量a与b的向量积,记作a´b,即c=a´b.根据向量积的定义,力矩M等于与F的向量积,即.2、向量积的性质:(1)a´a=0;(2)对于两个非零向量a、b,如果a´b=0,则a//b;反之,如果a//b,则a´b=0.如果认为零向量与任何向量都平行,则a//bÛa´b=0.3、向量积的运算律:(1)交换律a´b=-b´a;(2)分配律:(a+b)´c=a´c+b´c.(3)(la)´b=a´(lb)=l(a´b)(l为数).4、向量积的坐标表示:设
35、a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk.a´b=(axi+ayj+azk)´(bxi+byj+bzk)=axbxi´i+axbyi´j+axbzi´k+aybxj´i+aybyj´j+aybzj´k+azbxk´i+azbyk´j+azbzk´k.=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k.为了邦助记忆,利用三阶行列式符号,上式可写成=aybzi+azbxj+axbyk-aybxk-axbzj-azbyi=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k..例4设a=(2,1,-1),
36、b=(1,-1,2),计算a´b.解=2i-j-2k-k-4j-i=i-5j-3k.例5已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、C(2,4,7),求三角形ABC的面积.解根据向量积的定义,可知三角形ABC的面积.由于=(2,2,2),=(1,2,4),因此=4i-6j+2k.于是.例6设刚体以等角速度w绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.解刚体绕l轴旋转时,我们可以用在l轴上的一个向量w表示角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由右手规则定出:即以右手握住l轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时,大姆指的指向就是w的方向.设
37、点M到旋转轴l的距离为a,再在l轴上任取一点O作向量r=,并以q表示w与r的夹角,那么a=
38、r
39、sinq.设线速度为v,那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知,v的大小为
40、v
41、=
42、w
43、a=
44、w
45、
46、r
47、sinq;v的方向垂直于通过M点与l轴的平面,即v垂直于w与r,又v的指向是使w、r、v符合右手规则.因此有v=w´r.
