如何求向量数量积.doc

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1、如何求向量的数量积苏州市吴县中学潘秀明《向量数量积》在江苏省《普通高中课程标准教学要求》中的考查级别为C，即要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．许多学生在此时常出现问题，究其原因，就是学生对向量数量积的概念理解不透彻．教材中出现的三种求向量数量积方法如下：一、定义法：1）两个非零向量和，它们夹角为，则；2）为任意向量，则．从定义来看求两个非零向量的数量积关键要弄清楚两向量的模和夹角；若从数量积的几何意义来看向量的数量积就是一向量在另一向量的投影与另一向量模的乘积，即就有．例题1：已知直线（其中）与圆交于M，N，O是坐标原点，求．分析：向量的模均

2、为2，但其夹角（或夹角的余弦）没有明确，这是解决问题的关键．解：原点到直线的距离：MNOH在Rt△OMH中OH=1，OM=2即∠MOH=600∴∠MON=1200即．例题2：在△ABC中，,求∠ABC．分析：∠ABC即的夹角，而向量的数量积与其夹角的余弦有关系，面积与其正弦有关系．解：①②②÷①得：，即．例题3：在△ABC中，，求AB的边长．分析1：，如何把转化成与的式子呢？解：∴即．分析2：由向量的几何意义可知ACBH解：设AB=x，AH=y，则即所以AB=．一、坐标法：，则，用此法解决向量数量积问题，必须先建立合适的平面直角坐标系，把向量坐标化．例题4：在等腰直角三角形A

3、BC中，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P是△ABC（包括边界）内任一点，求的范围．分析：虽然，但、的夹角都不清楚，而且不易求得，故该题用向量数量积的定义解决问题不太明智．ABCMNP解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，建立如下图的坐标系，则A(1,0)，N,M设P(x,y)，则即再运用线性规划的数学知识得范围为．一、基底法：根据平面向量的基本定理可知，平面任一向量均可用平面向量的一组基底唯一表示，那么向量数量积的问题就可以转为与基底数量积相关问题来解决．选择基底要注意两条原则：一尽量知其模；二尽量知其夹角。例题5：已知△ABC，AB=3，AC=4，

4、∠BAC=600，点P在BC上，且，求．分析：该题运用定义法可能困难比较大；运用坐标法的关键是如何建立合适的坐标系，明确对应向量的坐标，这种方法相对比较容易；现不妨从基底的角度来思考．解：运用向量的知识得：，．上述三种求向量数量积的方法如何在解题中得到恰当的运用呢？我们不妨举例说明．例题6：已知正三角形ABC的边长为6，点P为线段AB上一点，且．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．分析1：该题运用定义可能不太明智；选用合适的基底转化，如选择一组基底，模都为6，夹角为600，这样问题就会迎刃而解了；若选择合适的坐标系，解题过程会更加清晰．解：法一、取基底，则（1）∴即．（

5、2）ABCP∴即．法二、以A为原点，AB为x轴，过点A与AB垂直为y轴，则A(0,0),B(6,0),（1）由可知P(2,0)即（2）由可知，则，∴即．例题7：过椭圆C：上任意一点A作圆E：的切线AM，AN，切点为M，N，求的最大值．ANEM分析：M，N随着A点变化而变化，变化的几何关系很明确，仅是线圆相切，用坐标法设元太多元，算量太大；采用基底转化也难达到目标，故而试用定义法，这样就把问题转化至中，运用以静制动的策略把问题引向AE来解决．解：设，即设A(x,y),则，即∴当时，最大值为．例题8：已知过点A(-1,0)的直线l与圆C：相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m

6、：相交于N.探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．AMNCQP分析：该题若选用坐标法来解决，过程繁杂，而且很容易出错。利用向量数量积定义把线段的乘积转化为向量的数量积，在关注特殊的位置关系：CM⊥l．解：即由直线m方程可设，则，即．例题9：中，斜边AB=1，E为AB中点，，求的最大值．ABCDE分析：该题运用坐标法需要建立坐标系，不易操作；运用基底法基底不好找；定义法需要知向量的模、夹角，而题支中均没有出现，但只要设出夹角，这些问题均可解决．解：设，则，,令，则=运用导数的方法得：当时，的最大值为．发表于《考试.高考.数学版》2010第6期