平面图形中求向量数量积技巧探究

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1、平面图形中求向量数量积的技巧的探究陈铎摘要：从一道高考“难题”的解决探究出求解平面图形中向量的数量积的多种方法：定义法、分解转化法、坐标法，以及使用这些方法的过程中的诸多技巧，发现了求向量数量积时投影的意义和作用，以及坐标法解题的优势，特别重要的是发现了垂直是解题的关键，或者说是灵魂，挖掘垂直关系，善于利用垂直关系，可以帮助我们快速地解答形形色色的平面图形中向量的数量积的计算。关键词：向量的数量积投影坐标垂直2010年天津市高考文理卷中都有下面这道求平面向量的数量积的题：题1如图1，在中，,,,则

2、.近几年的很多省份（如天津、湖南、江苏、上海、浙江等）的高考试卷中都有类似的试题，它们以平面图形为载体，考查求向量的数量积。上面的题1在高三的第一轮复习中我让学生做过，只有极少数学生做出来，二轮复习又做，做出来的学生仍是不多。这正印证了资料上对该题的评析中的话：本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。1分析疑难，弄清难处，激发探究欲望那么这个题到底难在哪儿呢？我们先看一般资料上给出的解答方法有两种：解法A.解法B.这两种解法，变换步骤多，技巧性太强，学生都难以掌握。解法A中用

3、到了向量的数量积的定义，诱导公式，正弦定理，锐角三角函数的定义，知识点多，变换步骤多，，特别是运用正弦定理得出很难想到。解法B也是通过变换和转化，最终将用表示出来。出现的失误主要有：一是对向量的夹角概念模糊，将、的夹角看作是；二是不会利用条件把用表示，进而到直角三角形中去解决问题。从教学实际来看，这两种解法，解法B学生普遍更容易接受些。学生能懂得这两种解法中转化的思想，但对转化的过程和方法却难以掌握。自然，老师和学生们都不满意这样的结果。挖掘本质、追求简单总是发展数学知识和技巧的动力，通过对问题本

4、质的挖掘和规律的探求，可以获得对问题更深切的体验，更多的策略性知识，和更丰富的解题经验。这道题有没有更简便的解法？有没有一般性解法，这种解法变换和操作具有很强的规律性，可以方便地用于解决同类问题？带着这些问题，我发动学生对这道高考题展开讨论、探究，引导学生从不同角度、从不同方向进攻。果然，课堂探究异彩纷呈，好戏连连，取得了一个又一个的成果。2精心设问，铺路奠基，为探究解答作准备首先，我针对这个问题的特点，提出两个问题进行谈论，为下面的解法探究提供知识和方法的准备。问题1：如何求两个平面向量的数量积

5、？学生通过回忆，想到了两种基本方法：一是定义法，就是利用平面图形中的线段的长度和角度用定义直接求向量的数量积。，其中为向量的夹角。运用这种方法，千万不要把向量的夹角和线段的夹角相混淆，注意向量的方向和向量夹角的关系。需注意下面三种情况：（1）表示向量的有向线段起点相同，此时向量的夹角就是线段的夹角，即的夹角为，此时；（2）表示向量的有向线段首尾相接，此时向量的夹角就是线段的夹角的补角，即的夹角为，而不是。此时；（3）表示向量的有向线段终点相同，此时向量的夹角等于线段的夹角，即的夹角为。此时.二是坐

6、标法：若，则。运用坐标法可将向量运算转化成数量运算，可以减少许多技巧。使用坐标法的前提是所给图形方便建立平面直角坐标系，点的坐标和向量坐标易求。问题2：平面向量的数量积有哪些性质？什么情况下向量的数量积好求？请联想一些特殊情况。这个问题的解决为探讨化简和变形向量的数量积的式子作准备。（1）若，则；（2）当方向相同时，；当方向相反时，。特别地，；（3）一般情形下，，这里是在上的投影，如图2。这样我们也可以利用向量数量积的几何意义借助投影求向量的数量积。学生一直不明白投影的意义和作用，其实投影是将不共

7、线的问题转化为共线来处理，理科学生多数都理解，而文科学生很多都不理解。（4）在（3）中，若，则，如图3（为方便起见，以后将这个结论称为结论1）。这是因为。或.说明：结论1可以巧妙地解决很多数量积的运算。后面练习中的四个题目都可以运用这个结论简便地求解。3多角度思考，展开探究在讨论完了问题一和问题二后，引导学生回到最开始提到的那道高考题，进行探究求解：3.1直接从定义入手，利用解三角形求解显然直接用定义求不好，因为和都不好求，但并非不能求。在这个问题中，是变化的，和也是变化的。若设，则可以顺次求出及

8、，进而求出。过程如下：设，则由得.在，由得.由余弦定理有，所以。因为，所以,.所以.3.2借助定义的变形，利用投影求解若将定义中的视作一个整体，它是在上的投影，自然想到下面的做法：如图4，作，垂足为。∵∴∴.∴.∴.∴.这个解法很是简便，学生体验到了探索的乐趣，品尝到了成功的喜悦。由此可见，投影在求向量的数量积中是多么有用！3.3能否不作辅助线就能解决问题呢？因为问题的条件主要集中在中，若能将转化到用中的边所对应的向量表示，问题自然就能顺利解决。.这种解法和解法B有异曲同工之妙，都