向量数量积性质探究

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1、向量数量积性质的探究362300泉州现代中学数学组陈永生159X0321668摘要：立体几何屮的几何法的“难在找（或作）所求的角度”，通过空间向量这个数量积的性质的转化,其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，就更体现了“向最”这个工具在立体儿何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增！关键词：空间向最线线角线面角二面角的平面角向量既是代数的対象，乂是儿何的对象。作为代数対象，向量可以进行运算。作为儿何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等儿何对象；向量有长度，可以刻画长

2、度、面积、休积等儿何度量问题。运用向量刻画儿何对象和儿何度量问题都是通过向量的代数运算來实现的。因此，向量捉供了一种通过代数运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度竝问题的工具。向虽集数形于一身，是沟通代数与几何的天然桥梁。向量的学习，冇助于学生学握处理儿何问题的代数方法，体会数形结合的思想。这乂需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如高中新课标：数学选修2-1中，关于空间向量的数量积有这样三条性质：（1）a-e=acos,（2）d丄boa•b=0,（3）a2=

3、a-ao性质（2）以向量來论证立体几何中的垂直问题，使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单。性质（3）如何求斜坐标系的两点间距离比较叽显，会立即得到充分的应用。性质（1）,上新授课时学生总认为：这条性质没有什么“本质上”用处，冇点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移，学生发现了她的奥妙Z处：在后继的有关"三大角度诵1“三大基本距离”的坐标法研究中有着奇妙无穷的用途，极大地丰富了空间向量的“数量积”这一运算的内涵。（一）性质的“知识链”对教材引进空间向量“他标法”来解决空间中“三大角”问题，学牛可以说是欣啻若狙，因为学牛觉得

4、这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用屮，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，英至张冠李戴。如何突破这一问题？我认为其根木原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链雹那么，这一性质怎样与相关问题产生“对接或联系"呢？（1）它是空间三大角（线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。冗1.1线线角a（ae[0-]）的求法新认识：2我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个

5、向量所成角的范围为ifa•hIa・/?I[0m]）,即cosa=lcosl=l，一」l=£^^们能否加以重新认识这个公式呢？如图，a\b\a\bcosa=103]IIOBIB[I口I此时OB】可以看作是&与方方向上的单位向量：的数量积&•：（其中：=<-）,这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：cosa=—竺jr12线面角&（牡叱）的求法新认讽sin&=1cosIIPAmlIPAIInI（其屮斤为平血a的一个法向量），此结论重新可以理解为:sin9=,此时OP又町以看作是玉在「上

6、的投影,PA\PA即用与;;方向上的单位向量w的数量积PAef（其中：=/-）,故sin0InI—knPA~InIPA1.3二面角的平面角0（处［0,刃）的求法新认识:I®•斤2I——（其屮®与〃2是两二面角所ICOS01=1COS/l.,/!.）1=''InII2I在平而的各一个法向量）此结论重新可以理解为云型II云•冬IInII/?2I★三大角的统一理解:□•亠间・2l而.巻IIaI.nInI.ci1712cosa1；、sm&==、Icos01=b\PAInI从上述可看出：这里“空间角”的求法，完全与肓角

7、三角形屮的三角函数的“正弦或余弦的定义'发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与学握这里的“空间角"的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和泊主化二因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学牛认知水平的“最近发展区"，那学习就会水到渠成！（2）它又是空间三人距离（点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点"。空间中冇七大距离（除球面上两点间的距离外）慕本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重

8、中Z重！另外两界面直线间的距离，高考考纲中明确耍求：对于开而直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。教材中引进了向量法來解决距离问题，也给问题的解决带來新的活力！不用作出（或找岀）所求的距离了。2.1点面距求法的新认