平面向量的数量积的性质

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1、.平面向量的数量积的性质【问题导思】　已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角.1.若a·b＝0，则a与b有什么关系？【提示】　a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cosθ＝0，θ＝90°，a⊥b.2.a·a等于什么？【提示】　

2、a

3、·

4、a

5、cos0°＝

6、a

7、2.(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝

8、a

9、cos〈a，e〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝

10、a

11、2即

12、a

13、＝；(4)cos〈a，b〉＝(

14、a

15、

16、b

17、≠0)；(5)

18、a·b

19、≤

20、a

21、

22、b

23、.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)数乘向量结合律：

24、对任意实数λ，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).向量的数量积运算　(2013·海淀高一检测)已知

25、a

26、＝5，

27、b

28、＝4，a与b的夹角为120°，(1)求a·b；(2)求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】　利用数量积的定义及几何意义求解.【自主解答】　(1)a·b＝

29、a

30、

31、b

32、cosθ＝5×4×cos120°＝5×4×(－)＝－10....(2)∵

33、a

34、cosθ＝5×cos120°＝－，∴a在b方向上的射影的数量为－.1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接

35、利用公式a·b＝

36、a

37、

38、b

39、cosθ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求a·b.1.(2013·玉溪高一检测)已知

40、a

41、＝6，

42、b

43、＝3，a·b＝－12，则a在b方向上的射影的数量是(　　)A.－4　　　　B.4　　　　C.－2　　　　D.2【解析】　cos＝＝＝－，向量a在向量b方向上的射影的数量为

44、a

45、cos＝6×＝－4，故选A.【答案】　A2.已知

46、a

47、＝6，e为单位向量，当向量a、e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，分别求出a·e及向量a在e方向上的正射影的数量.【解】　当向量a和e之间的

48、夹角θ分别等于45°，90°，135°时，

49、a

50、·

51、e

52、cos45°＝6×1×＝3；

53、a

54、·

55、e

56、cos90°＝6×1×0＝0；

57、a

58、·

59、e

60、cos135°＝6×1×(－)＝－3.当向量a和e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，a在e...方向上的正射影的数量分别为：

61、a

62、cosθ＝6×cos45°＝3；

63、a

64、cosθ＝6×cos90°＝0；

65、a

66、cosθ＝6×cos135°＝－3.与向量模有关的问题　已知向量a与b的夹角为120°，且

67、a

68、＝4，

69、b

70、＝2，求：(1)

71、a＋b

72、；(2)

73、(a＋b)·(a－2b)

74、.【思路探究】　利用a·a＝a2或

75、a

76、＝求解.【

77、自主解答】　由已知a·b＝

78、a

79、

80、b

81、cosθ＝4×2×cos120°＝－4，a2＝

82、a

83、2＝16，b2＝

84、b

85、2＝4.(1)∵

86、a＋b

87、2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴

88、a＋b

89、＝2.(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴

90、(a＋b)·(a－2b)

91、＝12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用a·a＝a2＝

92、a

93、2或

94、a

95、＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，试求

96、a＋b

97、的值.【

98、解】　∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)，∴

99、a＋b

100、＝

101、3(e1＋e2)

102、＝3

103、e1＋e2

104、＝3＝3＝3.与向量夹角有关的问题　(2014·济南高一检测)若向量a，b，c两两所成的角均为120°，且

105、a

106、＝1，

107、b

108、＝2，

109、c

110、＝3，求向量a＋b与向量a＋c的夹角θ的余弦值.【思路探究】　先利用已知条件，分别求出(a＋b)·(a＋c)，

111、a＋b

112、和

113、a＋c...

114、的大小，再根据向量的夹角公式求解.【自主解答】　∵(a＋b)·(a＋c)＝a2＋a·b＋a·c＋b·c＝1＋1×2×cos120°＋1×3×cos120°＋2×3×cos120°＝－，

115、

116、a＋b

117、＝＝＝＝，

118、a＋c

119、＝＝，∴cosθ＝＝＝－，所以向量a＋b与a＋c的夹角θ的余弦值是－.1.求向量a，b夹角的流程图求

120、a

121、，

122、b

123、→计算a·b→计算cosθ＝→结合0≤θ≤180°，求解θ2.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避免复杂的运算.(1)(2014·辽宁师大附中高一检测)若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则a与c的夹角为(　　)A.0B.C.D.(2)(2014·贵州省四校高一联考)若

124、a

125、＝2，

126、b

127、＝4且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是(