平面向量数量积性质应用

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1、平面向量数量积性质的应用江苏袁军平面向量数量积性质的应用是考试的重点，为使同学们能熟练应用平面向量的数量积，下面就平面向量的数量积几种题型进行归纳，希望对同学的学习有用。应用一：平面向量的模长问题例1．已知，向量与向量的夹角为，求。分析：关系式可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求可求,将此式展开，由已知及向量与向量的夹角为可求。解：∵，∴=，∴==4，∴=。点评：利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）；（2）；（3）若。应用二：平面向量的夹角问题例2．已知向量，，，若，则的夹角为。解析：∵向量，，∴，又设，∴由可

2、得，假设与的夹角为，故可得，∴所求角为。点评：利用公式求向量的夹角是我们最常用的一种方法，在应用时，应考虑先将两个向量的数量积求出，再将它们的模的乘积求出，从而得到夹角余弦值。例3.已知且与的夹角为，则当为何值时，向量与垂直？解析：∵∴。即，∴。即为时，向量垂直。点评：（1）非零向量是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握。（2）若。应用四：平面向量的数量积的坐标表示例4.已知向量，，。⑴若点、、能构成三角形，求实数应满足的条件；⑵若为直角三角形，且为直角，求实数的取值范围。解析：⑴已知向量，，。若点、、能构成三角形，则这三

3、点不共线，∵，，故知，∴实数，满足条件。⑵若为直角三角形，且为直角，则，∴,.点评：本题将平面几何中的三点不共线问题转化为向量，不共线问题，从而利用解决，而对于为直角，则可以转化为，因此，平面几何中的垂直，共线，夹角问题可用相应的向量知识解决练习：1.在中，设且是直角三角形，求的值。2.若

4、

5、=2，

6、

7、=，与的夹角为45°，要使与垂直，则k=。3.若，与及的夹角均为，，，则=。答案：1，的值为或或；2，；3，11.平面向量的数量积的性质包括向量形式和坐标形式，在用的时候得分清是坐标形式还是坐标形式，恰当合理的选用公式。