例说求向量的数量积的几种常用方法

《例说求向量的数量积的几种常用方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、万方数据66数学教学研究第33卷第8期2014年8月例说求向量的数量积的几种常用方法冉福现(贵州省贵阳市第一中学550081)向量的数量积是向量一章的重点，是学科知识的交汇点，也是高考重点考查的知识点．由于平面向量的数量积的运算具有一定的技巧性，在历年的高考中不少学生得分率不高，究其原因在于没有很好的掌握求数量积的方法．为突破这个考点，本文归纳几种求向量的数量积的方法．向量的数量积的表示形式有：1．定义：非零向量a与矗，则a·‘6=IallbICOS口，其中8是a与6的夹解．2．基底式：若a=动i+勉．『，b=Yli+y2j，则a

2、·6=(xli+zd)·(yli+yzj)，仿多项式的乘法法则运算．3．坐标式：若口=(z1，Y1)，b--__(z2，yz)，则a·b=xlx2-．}-yly2．在求解向量的数量积时若能根据具体问题灵活运用不同的方法，以减少运算量，收到事半功倍之效，下面举例说明．1直接用定义例1(2009年陕西)在AABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足碎=2葡，则藏．(商+P--b=()．』A■(A)一音(B)一÷(c)丢(D)丢解如图1，因为M是BC的中点，AN=1，碎=2茼，所以商+一PCAP=P肠，所以PB+一2两，而A

3、P一昙，所以葡．(商+竞)；商．静=一页芦=一丢，选B．图1例2如图2，AABC的外接圆圆心为O，AB=2，AC一3，BC一仃，则A---6·葡一()．(A)号(B)号图2(C)2(D)3解法1由余弦定理求得c。sB=锰，c。sc=竽，由正弦定理求得20A一丽AC=而42，[pOA2孕．因为／AOC-----2B，LAOB----2C，所以cos／AOC=2coszB一1=一盐14，c。s／AOB=2cos2C--1_-1，所以劢．费=劢．(茂一茄)=劢．磅一劢．蕊=一I蔬l2cosLAOC一(一Io---玄l2COs么AoB)=

4、鲁．解法2A--6·葡=劢·(前一A---鸯>=劢．前一劢．商=l麓lI劢lcosZOAC—I蕊II劢I．cosZOAB，而f劢IcoSZOAC：早，A-A-A劢Ic。s么OAB：早，所以万方数据第33卷第8期2014年8月数学教学研究67A-5·蕊一丢(1赢I2一In-Til2)一百5．评解法1是直接用定义来求向量的数量积，解法2是用向量的数量积的几何意义求向量的数量积，同属定义法，但解法2简捷明快．例3(2010年天津)如图3，在／kABC中，AD_LAB，葳一据商，I商I一1，则葡·劢一图3分析若直接用定义求A乙·A历，则必

5、须求l砣l及葡与劢的夹角LDAC．其实，注意到葡·劢一l葡

6、

7、商ICOsLDAC，由于IA历I=1，我们只须求出IA乙Icos么DAC即可，而IAeCOS么DAC正是向量A乙在向量劢方向上的投影AE．解如图3，在RtABAD中，c。s口一南，AE---l砣Icos么DAc—AD+DE=1+}魔

8、cos口一1+面DC一1+(捂--1)一万．例4(2012年湖南)如图4，在平行四形ABCD中，AP上BD，垂足为P，且AP=3，则AP图4·葡一——．“解A--P．葡一2A---5．A---P一2I商

9、

10、劢Ioo眨咄一2l碎Iz一18．2

11、用向量的基底式求向量的数量积根据题目已知条件灵活选择基底表示向量，再依照多项式的运算法则求向量的数量积．例5(2007年天津)在／XABC中，么BAC=120。，AB一2，AC—l，D是BC边上一点，DC=2BD，则劢·葡一．解如图5，以蕊，葡为基底，因为AB一2，AC=1，则有茄一昙葡+要蕊，J蔚一葡一蕊。所以图5A--5．蔬一(吉葡+号商)．(商一蕊)一号I窟l2一号葡·蕊+号蕊·前一i2l蕊I2一一号．例6如图6，四边形ABCD中，AC一括，BD=1，则(蕊+蔬)·(前+F5)一．解因为图6蕊一魂一蔬，蔬一砣一茄，而蔬一茄一

12、茄一(葡一A-b)一(商一茄)，则蕊+院一葡一商，所以(商+茄)．(前+B-5)一(砣一商)．(葡+B-5)一I前Iz—I商Iz----2．例7已知

13、0吸I=1，I碡I一再，蔬与菌的夹角为150。，点c是△AOB外接圆上优弧AB上的一个动点，记茄与蕊的夹角为口，求茄·蕊的最大值．解如图7，因为在图7／XAOB中，I荫l一1，I商f一再，LAOB=150。，由余弦定理得AB2=OA24-OB2—20A·0BcosLAOB一1+3—2√3COS150。，所以AB=vcf．再由正弦定理可求得外接圆万方数据半径R=,／-f，在AAOP中，

14、c。sZAOP=疠，故砣·商一蔬·(亩+竞)一蔬．砷+蔬．茏一去+蔬．竞，当荫与竞同向时，赢·竞有最大值，(蔬·-P-'d)一=,／7．所以(砣·蔬)～一{+仃．3坐标法根据题意建立适当的坐标系，将向量坐标化，可使向量数量积运算程序化，从而简化思维