由课本上一道习题谈求平面向量数量积的方法-论文.pdf

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1、·4·理科考试研究·数学版2014年9月1日由课本上一道习题谈求平面向量数量积的方法江苏省徐州铜山区棠张高级中学221113秦岭平面向量是新课改的新增内容，是高考必考的考点，纵观在弧的中点时IcI最大．利用平面几何知识易得ICI=2．近5年各地的考题却没有一道是难题．从考题看，解答题中，多点评本题也可抓住所构造四边形的对角互补的特殊是“戴帽穿靴”——即以命题条件的呈现方式或所求结论的呈性，利用圆的知识解之．如图4，构造圆的内接四边形ABDC，其现方式出现，考查两向量垂直、平行的坐标形式，或考查向量的中赢：n，：b，Z

2、．CAB：1200则：c，／CDB=60。．当求模、数量积等，偏重于对其它数学知识的考查，如解三角形、AD为圆直径时lCI最大，故lcI=2．三角变换等，多出现在l5题，属简单题；填空题中，则主要考查向量的线性运算、求数量积等，属中档题．本文拟就求平面向量数量积的问题，结合课本上一道习题进行解题方法的揭示．C例1(苏教2012年7月第4版，必修4第89页第13题第(1)问)如图1，在ABCD中，AB=2，AD=1，BAD=60。．求．的值图4图5例3如图5。AABC的外接圆的圆心为0，AB=2，AC=3，BC：，则．

3、赢：——分析注意到所求中两个向量、赢不共起点，且夹角难以计算，利用向量的减法，赢：一窟，将所求向量转化为图l2以A为公共起点的向量，然后再运用“投影法”解决．根据数量积的定义及实数的结合律，解析赢：一磕a-g．：IlIIc。。Z．BAC：IIfllCOSLBAC)．因为OA：OB，所以在上的投影为Il，如图2，过点c作CE上AB，垂足为E，则所以．赢：1IIz：2．IIcosLBAC：AE：A+船=AB十BCcosCBE=÷，同理AD．AC：1II：导．—0．．-．故AB·AC：IABI(1CBAC)=5．~a--d

4、．赢：导一2：5．点评解法一的实质是使用数量积的定义、实数的结合律，将求数量积问题转化为解直角三角形问题．设a，b是两个例4(2012年江苏)如图6，在矩形ABCD非零向量，则IbIcosO(其中0为向量口，b的夹角)叫做向量b中，AB=，BC=2，点E是BC的中点，点F在在向量a方向上的投影，故称此法为投影法．边CD上，若赢．：，则．的值是解法二(拆分法)●如图1中，：+，所以．：赢．(+)．．●．_．一解法一(坐标法)：+．：2z+2cos60。：5．以AB、AD边所在直线分别为轴、Y轴，A为图6点评解法一的关键

5、是根据平面向量基本定理将相关向坐标原点建立平面直角坐标系．则B(√，0)，量都用一组基向量表示．平面向量基本定理告诉我们这样一个(，1)．设F(m，2)，由基本事实，平面内的任意一个向量都可以用一组基底线性表示，定理的最大优势在于将任意“化一”，从而避免解题中的盲赢．：(，0)．(m，2)：jm：1，目性．这里的关键问题是选择“好的”基底，一般来说，应选择所以F(1，2)，则窟．：(，1)．(1一，2)=有共起点的、位置有特殊关系(如夹角已知、垂直)或长度已知解法二(拆分法)的两向量作为基底，总的目的是将所求向量用基

6、向量表示．齑．：压j赢+：．赢：例2设向量a，b，c满足IaI=l_1，Il：一1，Ibl=1，口-西=一÷，口一c与6一cB窟．赢：(+赢)．(赢+)：．+赢．赢的夹角为60。，则Icl的最大值等于=(1一)+2=．点评此题是求平面向量数量积运算的常见题型，即“两个向量不共起点，且夹角难以计算”．法一的处理针对此题应该分析此题若用代数方法将困难重重，构造图形解题却是一条捷径．如图3，设：n，：是最佳方法，即“建系+坐标运算”，通过建立坐标系，用代数6，o-d：c，则Il_I商I：1，LAOB：120。，口一c：，方

7、法运算解决问题是非常行之有效的，应作为基本方法熟练掌6一c：c-g，由题意知AcB：6o。，故点C的轨迹是以AB为握；法二处理的很巧妙，紧紧抓住“垂直”这一特征，把目标向弦，所含的圆周角为60。两段弧(端点A、B除外)，所以当点C量向垂直的基底向量分解，转化为易求向量的数量积．