二项索赔下保费收取为广义Poisson过程的破产概率.pdf

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1、第31卷哈尔滨师范大学自然科学学报第3期NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY二项索赔下保费收取为广义Poisson过程的破产概率邹倩妮(南华大学)【摘要】将经典模型推广为保费收取服从广义Poisson分布且理赔过程为二项过程的离散风险模型，通过鞅论的方法证明其破产概率满足Lundberg不等式，并且得出了破产概率的一般式．【关键词】广义Poisson过程；二项过程；调节系数；鞅；破产概率中图分类号：O211．67文献标识码：A文章编号：1000—5617(201

2、5)03一OO46—03则对任意的s>0，M(t)的概率母函数G(s)必0引言形如在传统的破产模型中，人们对于复合二项风G+()=e舢(。()一险模型]以及复合Poisson模型在有限时间内的其中，A≥0是一常数．最终破产概率和生存概率等问题都进行了相当G(s)=∑Ps是某一个正整数值随机变量深刻的研究，并取得了大量有用的结果．比如董英华通过对鞅方法的运用，研究了改进后的X～f23⋯1的概率矩母函数．其中Pk是Poisson模型的破产概率；杨向群2和龚日朝等tplPzP3⋯，人对一般情形下的复合二项风险模型进行了研指

3、在任意一个点发生时刻，有k个点同时出现的究．但在现实生活中，虽然在很小的时间段内最概率．由此可以知道，广义齐次Poisson过程可以多发生一起事故，但可能进行多起赔付，故该文描述成这样一个点过程，其点跳发生时刻是一个对其进行了改进，成为保单收取次数服从广义齐次Poisson过程，强度为A，但在每一个个点跳Poisson分布，理赔过程服从二项分布的风险模发时刻的点数是独立同分布{P，k≥1}的随机型．变量．实际上，也可以把广义齐次Poisson过程刻划为：1广义齐次Poisson过程定义1．2对于给定的A和P，广义齐次

4、定义1．14有限值计数过程{M(t)，t≥泊松过程{M(t)，t≥0}为一复合Poisson过程，mff)0}称为广义齐次Poisson过程，若它满足下列条且有()=∑X，其中件：(1)P{M(0)=0}=1．(1)是上的离散型随机变量，且p(X：(2)有平稳独立增量．k)=P；也可以把上述过程等价刻划成：(2)m(t)为一齐次Poisson过程，其强度为若{M(t)，t≥0}是广义齐次Poisson过程，．收稿日期：2014—11—09第3期二项索赔下保费收取为广义Poisson过程的破产概率47(3)若E[X]=

5、，则E[M(t)]=aAt．最终破产概率为(M)=P{T<∞Iu(o)=M2模型的建立它是初始值的函数．该文研究以下风险模型：3主要结果给定某概率空间(，F，P)，设u≥0，C>0，t≥0，定义引理3．1盈余过程{S()，n≥0}是个Ⅳ(n)右连续随机过程，并且具有下列性质：(n)=+cM(n)一∑(1)J=1(1)[s(n)]=(cA一P)n>0．Ⅳ(n)(2)具有平稳独立增量．．s(n)=cM(n)一∑(2)(3)存在正数r，使得E[e]<∞．(1)n是保险公司的运作时刻，即公司收取设(r)：E(eh)，r∈R是

6、个体索赔额的保费和进行赔偿都是在离散时间n(n=0，1，2，矩母函数．⋯)进行．引理3．2对于盈余过程{S()，n≥0}，存(2)是保险公司的初始运行资本，C(C>在函数g(r)，使得E[exp(一rS(n))]=e成0)是单张保单的收入．立．且方程g(r)=0有唯一的正解尺，称其为调(3)(n)为保险公司在[0，n]这段时间内节系数．收取的保险单总数，服从广义Poisson分布．证明(4)N(n)为[0，n]内的索赔次数，是参数为一rs(n)]=E[e一小善]=P的二项随机序列，为个体索赔额，独立同分布．E[e‘]

7、E[e善]=eoz~n(e-rC-1)e[pMy(g]=(5)U(n)表示[0，]时间段内保险公司的{n^(。一一1)ln[pMy()q]}ne盈余资本，S()为盈利情况．贝0有g(r)=A(e一一1)+In[pMx(r)+q]，使假定{√=1，2，⋯}，{M(n)，≥0}与得E[exp(一rS(n))]=e州”成立．{N(n)，n≥0}相互独立，与有相同的分布函又数．r=-cotAe-re+对于上述风险模型，设=E(Y)<∞，：=E(y2)<∞，假定安全负荷系数或相对安g”(r)=Aace一十pM((r)[pMy(

8、r)+q]一[pM；(r)]全附加因子0：，运用强大数定理]1p[pMy(r)+q]可证：因为g(o)=0，g(0)=一rc+pu<0(1)若0>0，~lJlimU(n)=+∞又g”(r)>0，limg(r)=∞．n—∞(2)若0<0，则liraU()=一∞所以g(r)在(0，+∞)上是一个凸函数，故n—∞(3)若0=0，~lJlimU(n)=