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《赌徒破产概率的生灭过程模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、DOI:10.13482/j.issn1001-7011.2010.02.032第27卷第2期黑龙江大学自然科学学报Vol.27No.22010年4月JOURNALOFNATURALSCIENCEOFHEILONGJIANGUNIVERSITYApril,2010赌徒破产概率的生灭过程模型赵娟,金燕生,刘征福(燕山大学理学院,秦皇岛066004)摘要:建立了依生灭过程赌博的风险模型,考虑了赌徒单位时间要交纳的费用,并假设赌徒的盈利序列为实数序列,对该模型的破产概率进行了研究。利用更新过程理论和马尔可夫性质
2、获得了破产概率有关初始资本、赌博时间的两种不同的极限形式,采用向后微分法给出了关于条件生存概率及破产概率序列的微积分方程关系式,得出了条件破产概率的临界情况。关键词:Markov链;完全平衡方程;破产概率;生灭过程中图分类号:O211.9文献标志码:A文章编号:1001-7011(2010)02-0175-050引言破产理论是非寿险风险理论的核心内容之一。伴随着随机过程理论,特别是更新过程与鞅论的发[1]展,破产理论在最近几十年逐渐成为应用数学以及精算学领域学者们关注的热点研究课题之一。破产理论的研究有其
3、概率论上的意义,也有其实际应用的背景,例如公司风险、赌徒风险、股市投资、水位变化、山脉复原等。破产模型也在不断地演化、拓广:从完全离散的经典风险模型到重尾分布的破产论、具有复合资产的破产论以及保险数学与数学金融的交叉研究等等。文献[2-5]中的风险模型的保费均为非负值,索赔序列亦均为正随机序列。文献[6]中研究了总索赔服从复合二项过程的负风险模型的常数c<0,索赔随机变量Xi>0的离散形式,并通过鞅的方法推导出了该模型破产概率的Lundberg不等式和破产概率表达式。赌徒破产的概率问题是一个经典的破产问题
4、。在国外精算学领域的赌徒破产概率已有了一定程度的研究。伴随着消遣方式的多样化,赌博已逐渐引起各学界人士的重视。赌徒破产概率的大小直接关系着该游戏者的切身利益,同时也告诫游戏的界限,更好地加深了对赌博的认识。文献[7]中构建了一种每赌一次独立地以p的概率赢一元,以1-p的概率输一元的简单随机徘徊模型,给出了当赌徒希望盈利到本利和为b元时的破产概率。文献[8]推导了(不仅仅)适合赌徒的概测法,并给出了一些规则的程序例子,而且得到一个通用的显示良好行为规则的Rouletee案例。文献[9-10]研究了赌徒的破产
5、问题为Markov链时的情况。文献[11]给出初始本金均为n或n+1两种情况下,n个玩家的赌徒破产概率以及破产时刻的期望,并论述了哪个人或哪些人破产与破产时刻是相互独立的。本文考虑了赌徒单位时间要交纳的费用,并假设赌徒的盈利序列为实数序列的情况下,利用更新过程理论和Markov性质获得了破产概率的两种不同的极限形式,并依据生灭过程理论给出了关于破产概率序列的微积分方程关系式,进而考虑了条件破产概率的几种临界情况。本文在第一部分中给出了赌徒破产概率生灭过程模型的定义;在第二部分中给出了破产概率的两种极限形式
6、和几种临界状态,并得出了依生灭过程的破产概率的微积分关系式。1模型描述[1-2]1.1生灭过程的定义收稿日期:2009-11-06基金项目:河北省教育厅自然科学研究项目(Z2008136)作者简介:赵娟(1984-),女,硕士研究生,主要研究方向:保险精算通讯作者:金燕生(1960-),男,副教授·176·黑龙江大学自然科学学报第27卷定义设X(t)t≥0是Z={0,1,2,…}上的时齐Markov链,若它有密度函数矩阵-q0q0100…q10-q1q120…Q=(qij)i,j∈Z=0q21-q2q23
7、…00q32-q3………………其中q0=q01>0,qii-1≥0,qii+1≥0,qi=-qii=qii-1+qii+1>0,i≥1;当i-j>1时,qij=0,则称{X(t)}t≥0是一生灭过程,称qii+1为出生速率,qii-1为死亡速率,可见,它从状态i经过一步转移只能转移到状态i-1或i+1。1.2模型描述设(Ψ,F,P)为完备概率空间,{X(t)}t≥0是Z={0,1,2,…}上的生灭过程,其密度矩阵为:Q=(qij)i,j∈Z。{Zk}k≥1为实随机变量序列,其中Zk的分布函数为F(x),均
8、值为μ,且F(∞)=1。并假设{X(t)}t≥0与{Zk}k≥1是相互独立的。N(t)设c为一常数,令N(t)表示过程{X(t)}t≥0在[0,t]时间段跳跃的次数,并令Y(t)=∑Zk-ct,则称k=1随机过程{Y(t)}t≥0为依生灭过程赌徒风险模型,其中{Y(t)}t≥0表示t时刻赌徒的盈利过程。上述风险模型描述了一个赌徒赌博的风险过程,输赢时刻用点过程N(t)描述,盈利额序列为{Zk}k≥1,其中Zk为实数。对u≥0,
