多元函数微分学.doc

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1、多元函数微分学一、本章提要１．基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度．２．基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数．隐函数微分法：拉格朗日乘数法．３．定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件．二、要点解析问题１比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微

2、之间的关系．解析多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．如果我们把自变量看成一点，那么对于一元函数，点在区间上变化；对于二元函数，点将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成，它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成．（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有

3、无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限，容易看出，如果先让再让，那么，同样，先让再让，也得到，但是如果让沿直线而趋于，则有，它将随的不同而具有不同的值，因此极限不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂．又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立．考察函数，同样，所以在点可导．然而，我们已经看到极限不存在，当然在不连续．多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的．因为偏导数实质上是一

4、元函数在处关于的导数．它的存在只保证了一元函数在点的连续．同理，偏导数的存在保证了在点的连续，从几何意义来看，是一张曲面，，为它与平面的交线，，为它与平面的交线．函数在（）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（）处连续，当然不足以说明二元函数即曲面本身一定在（）处连续．（３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若在可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式其中当时，，从而，因此函数在可微，那么它在必连续．函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我

5、们有一个很简便的充分条件：若在不仅可导而且偏导数都连续，那么必在可微．函数的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：．（４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：问题２　如何求多元函数的偏导数？解析　求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是的一元函数．这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用．对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含

6、有抽象函数，先复合的方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用．例1设求．解直接求偏导数，，利用全微分求偏导数，所以．例2设求．解由复合函数求导法则，得，，其中分别表示对的偏导数．问题3二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析不一定．二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得．例3　说明函数在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值．解，此极限不存在，所以在处不存在．同理，此极限不存在，所以，在点处，不存在．但函数，即在点取得极大值1．问题4在解决实际问题时，最值与

7、极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值．最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系．如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值．又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得．由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且最大（最小）值的存在性是显然的．因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步：（1）根据实际问题建立函数关系，确定定义域；（2）求驻点；（3）结合实

8、际意义判定最大、最小值．从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值．条件极值和无条件极值是两个不同的概念．例如，二元函数的极小值（无条件极值）显然在点取