《多元函数微分学》doc版

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1、第十七章多元函数微分学§1可微性1.求下列函数的偏导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），；（7），；（8），，；173（9），，；（10），，.2.设，求.解由于，所以.3.设考察函数在原点的偏导数.解由于，而不存在.所以在原点关于的偏导数为,关于的偏导数不存在.4.证明函数在点连续但偏导数不存在.证因为所以函数在点连续.由于当时的极限不存在，因而在点关于的偏导数不存在.同理可证它在点关于的偏导数也不存在.5.考察函数在点处的可微性.解由偏导数定义知173同理可得.由于所以在点处

2、可微.6.证明函数在点连续且偏导数存在，但在此点不可微.证因为，从而,即点连续.由偏导数定义知.同理可得.所以在点的偏导数存在.由于173沿着直线趋于点时，其值为；而沿着趋于点时，其值为.所以点处不可微.7.证明函数在点连续且偏导数存在，但偏导数在不连续，而在原点可微.证由于因此点连续.由偏导数定义知..而当时但由于，而不存在.因此当时，的极限不存在，从而在点不连续.同理可证在点不连续.而由于173所以在点处可微.8.求下列函数在给定点的全微分：（1）在点，；（2）在点.解（1）在,连续，从而在，可微.由,可得；由,可得.（2）显然，在连续，从而在可微.由可得；由可得.9.求下列函数的全

3、微分：（1）；（2）.解（1），连续，从而可微.且其全微分为；173（2）连续，从而可微.且其全微分为.10.求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解由于在处可微，从而切平面存在.因为，所以切平面方程为即.法线方程为即.11.求曲面在点处的切平面和法线方程.解由于，所以切平面方程为，即；法线方程为，即.12.在曲面上求一点，使这点的切平面平行于平面；并写出这切平面方程和法线方程.173解设所求点为，点处切平面法向量为.要使法平面与平面平行，则有,从而，得.曲面在这点的切平面方程为，即.法线方程为，即.13.计算近似值：（1）；（2）.解（1）设.其中，，.又而，，，故.（2）设.其中，，，

4、，，，故.14.设圆台上下底的半径分别为，高.若分别增加，求此圆台体积变化的近似值.解圆台体积，从而将及代入上式得173.15.证明：若二元函数在点的某邻域内的偏导函数与有界，则在内连续.证由与在内有界，设此邻域为，存在，使，在内成立.任取，由于.所以对任给的，存在，当，时，有，故在连续.由的任意性得，在内连续.16.设二元函数在区域上连续.（1）若在内有，试问在上有何特性？（2）若在内有，又怎样？（3）在（1）的讨论中，关于在上的连续性可否省略？长方形区域可否改为任意区域？解（1）此时.事实上：对内任意两点，由中值定理知即.由的任意性知.（2）此时（为常数）.事实上：对内任意两点，由中

5、值定理知173其中，，.由于，所以.由的任意性知.（3）在（1）的讨论中，关于在上的连续性不可省略.否则结论不一定成立.例如：在矩形区域上定义二元函数在内，显然在上不连续.，显然与有关，结论不成立.在（1）的讨论中，长方形区域不能改为任意区域.否则结论不一定成立.例如：设，而，二元函数在上连续，且在内，但.显然与有关，结论不成立.17.试证在原点的充分小邻域内，有.证设，取，，则由于173所以.18.求曲面与平面的交线在处的切线与轴的交角.解设交角为，根据导数的几何意义切线对轴的斜率为，从而，所以切线与轴的交角为.19.试证：（1）乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和.（2）商的相

6、对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.证（1）设，则.故.（2）设，则.故.20.测得一物体的体积，其绝对误差限为；又测得重量，其绝对误差限为.求由公式算出的比重的相对误差限和绝对误差限.解的绝对误差限：.的相对误差限：.§2复合函数微分法1731.求下列复合函数的偏导数或导数：（1）设，求；（2）设，求；（3）设，求；（4）设，求；（5）设，求；（6）设，求.解（1）令，则.因此.（2）；.（3）.（4）173；.（5）令，则，因此；.（6）令，则，因此；；.2.设，其中为可微函数，验证.证设，则，从而，，173所以.3.设，其中为可微函数，证明.证设，则,从而，，所以.4.设可微，

7、证明：在坐标旋转变换之下，是一个形式不变量.即若则必有（其中旋转角是常数）.证由于，所以.故.5.设是可微函数，.试求与.解由于.所以.6.若函数满足恒等式，，173则称为次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数为次齐次函数的充要条件是：并证明：为次齐次函数.证必要性令，由.两边对求导得令，则有.充分性设令，求关于的偏导数得由已知条件得，所以仅是的函数，记，则有令，有，所以.因为，所以为二次齐次函数.7.设具有性质，证明