多元函数微分学总结.doc

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1、`第八章多元函数微分学8.1基本知识点要求　　1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.　　2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。　　3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。　　4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.　　5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.　　6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.　　7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。　　8.了解二元函数的二阶泰勒公式.　　9.理解多元函数极值

2、和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。8.2基本题型及解题思路分析题型1与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。（1）基本概念①二元函数极限的定义：设的定义域为,是的聚点.若常数，对于，总，使得当时，都有成立，则称为函数当时的极限，记作。②二元函数的连续：设的定义域为,为的聚点，且.若，则称在点连续。（2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数存在的定

3、义中，方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。①证明二元函数的极限不存在：若的极限不同，则一定不存在（见例1）。②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例1证明：在原点的极限不存在。【分析】观察分子、分母中变量的各次幂的特点，可考虑选择路径。证明：，，故不存在。【评注】证明二元函数的极限不存在是个难点，关

4、键是选择适当的的路径，注意总结其选择路径的规律。例2。【分析】此题既可以直接利用等价无穷小代换，也可以先将分母有理化，再进行等价无穷小代换。解：【评注】二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质与运算法则，求法一般不难，这里不再多举例子。例3设，证明函数在点连续。【分析】：通过观察分子、分母中变量的各次幂的特点，可以看出在点的极限存在且为，但不易利用例2中的评注直接求解，可以考虑将点转化成极坐标来表示。证明：在点连续。1.偏导数的概念二元函数的偏导数的概念：设在点的某一邻域内有定义,如果极限存在,则称此极限为函数在点处对x的偏导数,记作,,,或。如果极限存在,则称此极限为函数在点处对

5、y的偏导数，记作,,,或fy(x0,y0).例4设则函数在原点偏导数存在的情况是（研）解：应选【C】，因为，故，所以。所以。故选【C】。【评注】开算数根也即含绝对值也即为分段函数，必要时需要用偏导数定义讨论偏导数，与一元函数类似，是重要考点。例5设,则（2008-北京赛）.【分析】为了利用偏导数的定义求出和，需要写出函数的表达式，为此要想到利用结论：其中。解：其中从而，故。【评注】此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。1.全微分概念及以上几个概念之间的关系二元函数全微分的概念：如果函数在点(x,y)的全增量可表示为,则称函数在点(x,y)可微分

6、,而称ADx+BDy为函数在点(x,y)的全微分,记作dz,即关系：偏导连续可微偏导存在；可微连续；但偏导存在可微；连续偏导存在【评注】一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中。例6设，（1）在（0，0）点是否连续？（2）求；（3）在（0，0）点是否可微；（4）在（0，0）点是否连续。（天津工业大学竞赛题）【分析】讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分的定义。解(1)由夹逼准则，，故(2)当时,当，利用偏导数的定义得，故同理可得(3)为了考察在点是否可微，我们来考察是否为的高阶无穷小，因为，故，即所以在点可微。（4）由于不存在，所以【评注1】利用偏导数和全

7、微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性，既是重点也是难点，需掌握。【评注2】若在点连续，且偏导数存在，则判别在点是否可微，需考察是否为的高阶无穷小。【评注3】此例验证了偏导数连续是可微的充分条件，而非必要条件。【评注4】注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处。例7设函数,其中在点(0,0)的一个邻域内连续,证明:在点(0,0)处可微的充要条件为。（2007-天津赛）证明：（必要性）已知在点(0,0)处可微，故与都存在。而，其中由于存在，故