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1、多元函数微分学第一节多元函数及其连续性第一节多元函数及其连续性一多元函数的概念1.平面点集:将x,y看作平面上的点的坐标,则两个变量的变化范围就相当于平面上的一个点集.(1)邻域:(2)内点:设,如果存在,则称为E的内点.全部由内点组成的集合称为开集.(3)边界点:若P的任意邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则P为边界点.边界点的集合称为边界.多元函数及其微分法设E为开集,若E中任何两点都能用位于E内的折线连接起来,则称E为开区域.(4)区域:开区域+边界称为闭区域区域如果存在正数M,使得E中任何点到原点的距离都小于M,则称E为有界域,否则无界域.注意:以上概念可推广到n维空间
2、.2.二元函数的定义设D是平面点集,若对于D中的每一个点P(x,y),变量z按照一定的法则,总有确定的值和它对应,则称z是x,y的二元函数自变量因变量定义域的范围为值域例(1)定义域是无界闭区域定义域是有界闭区域11113.二元函数的图形将x,y,z看作空间直角坐标系中点的坐标,则二元函数通常表示一张曲面.它在xoy面上的投影就是函数的定义域.二.二元函数的极限定义:设函数f(x,y)在区域D内有定义,是D的内点或边界点,当时则xyzz=f(x,y)也可表示为注:(1).二元函数的极限称为二重极限;(2).二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于时,f(x,y)都无限接近于A.故
3、如果P(x,y)沿不同路径趋于时,f(x,y)趋于不同的值,可断定极限不存在.(3).以上定义可推广到n元函数.(4).极限运算法则与一元类似.当P(x,y)沿x轴和y轴趋于(0,0)时,f(x,y)趋于0.当P(x,y)沿y=x趋于(0,0)时,f(x,y)趋于1/2.故不存在.例2.例1.三.二元函数的连续性定义:设函数f(x,y)在区域D内有定义,是D的内点或边界点且,若则称f(x,y)在点处连续.注:(1).若函数f(x,y)在区域D内每一点都连续,则称f(x,y)在D内连续或f(x,y)是D内的连续函数.(2).二元连续函数具有与一元连续函数类似的性质.例如:和,差,积,商
4、及复合性质.例如:有界闭域上的二元连续函数也有最大(小)值定理和介值定理.(3).二元初等函数在其定义区域内连续.由x和y的基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算构成的一个式子的函数定理1在有界闭域D上连续的函数f(x,y)必有最大值和最小值.定理2在有界闭域D上连续的函数f(x,y),如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.此结论对研究二元函数的连续性和求极限很有帮助.例3.初等函数定义域内的点例4.例5.讨论连续性:初等函数除外处处连续.除(0,0)外处处连续.(0,0)点极限不存在间断线
