多元函数微分学

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1、§8．6微分法在几何中的应用一．空间曲线的切线与法平面二．曲面的切平面与法线曲线的切向量、法平面曲面的切平面、曲面的法线、曲面的法向量一．空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为x(t)，yy(t)，zw(t)这里假定(t)，y(t)，w(t)都可导．考虑当MM，即t0时．，，xyzOMM其方程为过曲线上tt0和tt0t对应的点M和M，作曲线的割线MM，一．空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为x(t)，yy(t)，zw(t)这里假定(t)，y(t)，w(t)都可导．

2、xyzOMM过曲线上tt0和tt0t对应的点M和M，作曲线的割线MM，考虑当MM，即t0时．，，其方程为一．空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为x(t)，yy(t)，zw(t)这里假定(t)，y(t)，w(t)都可导．xyzOMM过曲线上tt0和tt0t对应的点M和M，作曲线的割线MM，考虑当MM，即t0时．，，其方程为一．空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为x(t)，yy(t)，zw(t)这里假定(t)，y(t)，w(t)都可导．xyzO

3、MM过曲线上tt0和tt0t对应的点M和M，作曲线的割线MM，考虑当MM，即t0时．，，其方程为一．空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为x(t)，yy(t)，zw(t)这里假定(t)，y(t)，w(t)都可导．xyzOM．得曲线在点M处的切线方程为过曲线上tt0和tt0t对应的点M和M，作曲线的割线MM，考虑当MM，即t0时．，，其方程为就是曲线在点M处的一个切向量．曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量．向量通过点M而与切线垂直的平面称为曲线在点M处

4、的法平面，法平面：xyzOM法平面方程为j(t0)(xx0)y(t0)(yy0)w(t0)(zz0)0．解因为xt1，yt2t，zt3t2，而点(1，1，1)所对应的参数t1，所以例1求曲线xt，yt2，zt3在点(1，1，1)处的切线及法平面方程．于是，切线方程为法平面方程为(x1)2(y1)3(z1)0，即x2y3z6．．提示:曲线的参数方程为：xx，yj(x)，zy(x))切向量为讨论：1．若曲线的方程为yj(x)，zy(x)．问其切线和法平面方程是什么形

5、式?{1，j(x0)，y(x0)}．2．若曲线的方程为F(x，y，z)0，G(x，y，z)0．问其切线和法平面方程又是什么形式?提示:两个方程确定了两个隐函数：yj(x)，zy(x)，切向量为{1，，}．例2求曲线x2y2z26，xyz0在点(1，2，1)处的切线及法平面方程．解为求切向量将所给方程的两边对x求导数，得解得，．1．0，所求切线方程为法平面方程为(x1)0·(y2)(z1)0，即xz0．．二．曲面的切平面与法线设曲面：F(x，y，z)0，M(x0，y0，z0

6、)是上的一点．考虑F[(t)，y(t)，w(t)]=0两边在tt0的全导数：Fx(x0，y0，z0)j(t0)Fy(x0，y0，z0)y(t0)Fz(x0，y0，z0)w(t0)0．可见向量xyzOM在上，通过点M任意引一条曲线，其参数方程式为x(t)，yy(t)，zw(t)；x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0)．二．曲面的切平面与法线设曲面：F(x，y，z)0，M(x0，y0，z0)是上的一点．考虑F(x，y，z)=0两边在tt0的全导数：Fx(x0，y0，z0)j

7、(t0)Fy(x0，y0，z0)y(t0)Fz(x0，y0，z0)w(t0)0．可见向量xyzOM在上，通过点M任意引一条曲线，其参数方程式为x(t)，yy(t)，zw(t)；x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0)．二．曲面的切平面与法线设曲面：F(x，y，z)0，M(x0，y0，z0)是上的一点．考虑F(x，y，z)=0两边在tt0的全导数：Fx(x0，y0，z0)j(t0)Fy(x0，y0，z0)y(t0)Fz(x0，y0，z0)w(t0)0．可见向量xyzOM

8、在上，通过点M任意引一条曲线，其参数方程式为x(t)，yy(t)，zw(t)；x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0)．曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上．这个平面称为曲面在点M的切平面．这切平面的方程式是Fx(x0，y0，z0