多元函数微分学

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1、第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.一、高阶偏导数解原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：解问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？解二 中值定理和泰勒公式.Taylor公式二、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义例1例２例３(3)(2)(1)2、多元函数取得极值的条件证仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点偏导数存在的极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：例3求函数的极值。解求解

2、方程组：得驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数不存在。求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值解令无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为U(x,y)=lnx+lny．设每张

3、磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．2条件极值拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．求解方程组解出x,y,z,t即得可能极值点的坐标.解则例5求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高为x,y，z.体积为V.则问题就是条件求函数的最大值.令下，则令即由(2),(1)及(3),(2)得由(2),(1)及(3),(2)得于是，代入条件，得解得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，所以，最大值就在此点处取得。故，最大值最大值一定存在，解则由(1)，(2)得由(1)，(3)得将(5)，

4、(6)代入(4)：于是，得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值解则解可得即多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值三小结作业：Ｐ１４０：８，９，１０，１１．高阶偏导数纯偏导混合偏导（相等的条件）中值定理和泰勒公式四思考判断题