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1、第11章多元函数微分学1本章概述1.1本章主要教学内容本章知识主要为：多元函数概念及其重极限、连续性；多元函数的偏导数、微分的概念及计算；连续、偏导数存在及可微三者之间的关系；链式规则；偏导数的几何应用，切平面与法向量；方向导数、梯度；隐函数存在性、可微性定理；多元函数最值求法，条件极值与Lagrange乘数法.本章的较多篇幅是讲述偏导数的计算法，尤其是抽象复合函数的一阶、二阶偏导数的计算法，以及由方程确定的隐函数的偏导数的计算法.1.2本章知识逻辑结构在以下图表中揭示出本章知识的逻辑关系.箭头前的是必须先学习的知识.隐函数求导法则多元函数极限连续有界
2、闭区域上连续函数的性质偏导数全微分全微分形式不变性极值泰勒公式最值无条件极值区域方向导数梯度多元复合求导法则偏导数几何应用条件极值Lagrange乘数法1.3在学习本章之前的必修知识学习本章——多元函数微分学应该具备一元函数微分学基本知识，空间解析几何基础知识，具有线性代数基础知识更好.一元函数微分学基本知识具体为：一元函数概念性质、极限概念及其性质、连续；闭区间上连续函数的性质；导数定义,导数意义；微分、导数的四则运算、复合运算、高阶导数；微分中值定理；泰勒公式；极值与最值.空间解析几何基础知识具体为：空间直线方程、平面方程和常见的二次曲面等知识.线
3、性代数基础知识具体为：线性方程组解法；行列式及其运算；二次型概念及正定与负定二次型的判别法.(线性代数不是学习本章的必要条件).1.4本章对后继章节的影响在学习重积分、曲线积分、曲面积分时都必须先学本章知识.本章知识与全微分方程有一定的相关性.1.5本章的重点本章的关键点是: 偏导数的计算法本章的重点是：多元函数的连续性、偏导数、微分的概念,连续、偏导数存在及可微三者之间的关系;多元复合函数求导方法；偏导数的几何应用；极值及最值的求法.1.6本章的难点区域有关概念,二元函数极限,全微分概念以及一阶微分形式不变性,含有抽象函数的复合函数的一阶、二阶偏导数
4、运算,方程（组）确定的隐函数的一阶、二阶偏导数运算,方向导数与偏导数间的关系，梯度的意义，无条件极值的充分条件的证明.2.教学内容提要及教学建议（评注）2.1多元函数的基本概念以二元函数为例叙述，可以平行推广到n元函数的内容不再叙述.2.1.1平面点集有关概念平面点集概念中最常说到的是邻域、区域.其他的概念在初学时可以不讲.某点的邻域是一个以该点为圆心的开圆盘，即一个开圆盘称为圆心的邻域.类似于一元函数时的区间，讨论二元函数时常常用到区域.形象地说，区域就是连成一块的一个平面图形.不含边界的区域叫开区域，含有全部边界在内的区域叫闭区域.开区域或闭区域、
5、半开半闭区域我们统称为区域.区域的严格数学定义为：区域是连通的开集.所谓连通集，即该集中任意两点都可以用含在该集中的连续曲线连接起来.所谓开集，即该集中的每一点都有一个邻域含在此集中.能被一个圆盘包含的区域称为有界区域，否则称为无界区域.平面区域相关概念如内点、界点、聚点等建议不要在讲解二元函数概念之前先介绍,因为对于非数学专业学生来说，学习内点,界点,聚点等这些是很难理解的，容易让学生感到抽象.可以先讲解二元函数的概念,然后几何意义,接着介绍二元函数定义域的求法与表示法,让学生从具体的定义域中感性的认识区域的有关概念,然后接着严格或者通俗的介绍这些概
6、念.2.1.2二元函数概念我们把二元函数定义为是从平面点集到实数集的映射.注意使学生熟悉函数的记号，如函数与自变量的记号无关，f(x,y)既表示函数也表示函数值，函数记为z=f(x,y)时，函数值,可记作或等等.二元函数与一元函数类似，也只与定义域和对应法则有关,而与自变量,因变量用什么字母表示无关.一元函数可以看成是特殊的二元函数，而把二元函数的一个自变量固定，就得到一元函数.二元函数z=f(x,y)，其图形为空间一张曲面，该曲面在平面上的投影区域就是该函数的定义域.也可以说该区面的方程是z=f(x,y).如函数的图形是上半球面，也可以说上半球面的方
7、程是.注：三元及更多元函数的图形不是直观的图形..2.2二元函数的极限与连续2.2.1二重极限定义设函数在区域上有定义,点是的点或边界点.若当动点在内无限趋向时,总是无限的趋向于同一个常数,则称为当时的极限,记作,或().或,或().上面定义的极限叫二重极限.二元函数还有一种极限叫二次极限，二者不同.二重极限仍有四则运算、无穷小乘有界量还是无穷小等性质，但没有洛比达法则.二重极限主要先从描述定义出发讲解,这样容易理解二元函数极限的本质,然后再向精确定义过度;要特别强调二元函数若当点在内以任意方式任意方向趋向时,总是无限的趋向于同一个常数,则称为当时的极
8、限,记作或.其次介绍二元极限与一元函数极限的不同点,让学生理解二元函数极限比一元要复杂,主要是
