曲线积分与曲面积分 (1).pdf

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1、第十章曲线积分与曲面积分§10.1对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(xy)处的线密度为(xy)求曲线形构件的质量把曲线分成n小段sss(s也表示弧长)12ni任取()s得第i小段质量的近似值()siiiiiin整个物质曲线的质量近似为M(,)siiii1令max{sss}0则整个物质曲线的质量为12nnMlim(,)siii0i1这种和的极限

2、在研究其它问题时也会遇到定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧函数f(xy)在L上有界在L上任意插入一点列MMM把L分在n个小段.设第i个小段的长度为s12n1i又()为第i个小段上任意取定的一点作乘积f()s(i12n)并iiiiin作和f(,)s如果当各小弧段的长度的最大值0这和的极限总存在iiii1则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记n作f(x,y)ds即f(x,y)dslimf(,)sLL0iiii1其中f(xy)

3、叫做被积函数L叫做积分弧段设函数f(xy)定义在可求长度的曲线L上并且有界将L任意分成n个弧段sss并用s表示第i段的弧长12nin在每一弧段s上任取一点()作和f(,)siiiiiii1令max{sss}如果当0时这和的极限总存在则称此12n极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作f(x,y)ds即Lnf(x,y)dslimf(,)siiiL0i1其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段曲线积分的存在性当f(x

4、y)在光滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分f(x,y)ds是存在的以后我们总假定f(xy)在L上是连续的L根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分(x,y)dsL的值其中(xy)为线密度n对弧长的曲线积分的推广f(x,y,z)dslimf(,,)siiii0i1如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L可分成两段光滑曲线弧L及L则规12定f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)dsLLLL1212闭曲线积分如果L

5、是闭曲线那么函数f(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作f(x,y)dsL对弧长的曲线积分的性质性质1设c、c为常数则12[cf(x,y)cg(x,y)]dscf(x,y)dscg(x,y)ds1212LLL性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L和L则12f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)dsLLL12性质3设在L上f(xy)g(xy)则f(x,y)dsg(x,y)dsLL特别地有

6、f(x,y)ds

7、

8、f(x,y)

9、dsLL二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线

10、形构件L的线密度为f(xy)则曲线形构件L的质量为f(x,y)dsL另一方面若曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则质量元素为f(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt曲线的质量为f[(t),(t)]2(t)2(t)dt即f(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dtL定理设f(xy)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在[]上具有一阶连续导数且2(t)2

11、(t)0则曲线积分f(x,y)ds存在且Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt(<)L证明（略）应注意的问题定积分的下限一定要小于上限讨论(1)若曲线L的方程为y(x)(axb)则f(x,y)ds?L提示L的参数方程为xxy(x)(axb)bf(x,y)dsf[x,(x)]12(x)dxLa(2)若曲线L的方程为x(y)(cyd)则f(x,y)ds?L提示L的参数方程为x(y)yy(cyd)df(x,y)dsf[(

12、y),y]